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指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算

导入新课

同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢?

提出问题

(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?

(2)如4x a =, 5x a =, 6x a =根据上面的结论我们又能得到什么呢?

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?

(4)可否用一个式子表达呢?

讨论结果:

n 次方根的意义:

一般地,如果n x a =,那么x 叫a 的n 次方根(n-throot),其中*1n n N >∈且. 可以看出数的平方根、立方根的概念是n 次方根的概念的特例.

提出问题

(1)你能根据n 次方根的意义求出下列数的n 次方根吗?

①4的平方根; ②±8的立方根; ③16的4次方根;

④32的5次方根; ⑤-32的5次方根; ⑥0的7次方根;⑦6a 的立方根.

(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0, 6a 分别对应什么性质的数,有什么特点?

(3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a 有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?

(4)任何一个数a 的偶次方根是否存在呢?

n 次方根的性质:

①当n 为偶数时, a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用n a -表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a >0).

②n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.

③负数没有偶次方根;0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示:

a 为正数:?????±.

,,,n n a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数 a 为负数:?????.,,,次方根不存在

的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n 零的n 次方根为零,记为n 0=0.

练习:找出下列各数:

①64的立方根; ②16的四次方根; ③-27的5次方根; ④-27的4次方根不存在; ⑤- a 6的立方根; ⑥0的3次方根.

它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式.

根式的概念: 式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数, n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数.

思考:

n n a 表示n a 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗?如果不一定成立,那么n n a 等于什么? 〔如33)3(-=327-=-3,44)8(-=|-8|=8〕.

n 为奇数,n n a = a .

n 为偶数,n n

a =a =???<-≥.0,,0,a a a a 因此我们得到n 次方根的运算性质:

①n =a .先开方,再乘方(同次),结果为被开方数.

②n 为奇数,n n a =a .先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数.

n 为偶数,n n a =a = a a,???<-≥.

0,,0,a a a a 先偶次乘方,再开方(同次),结果为被开方数的绝对值.

应用示例

例1求下列各式的值: (1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a - ()a b >.

变式训练

求出下列各式的值: (1)77)2(-; (2)33)33(-a 1a ≤; (3)44)33(-a .

例2下列各式中正确的是( )

a = (B)62)2(-=32-;

(C) 01a =; (D)105)12(-=)12(-.

例3223++223-=_________

点评:不难看出223-与223+形式上有些特点,即是对称根式,是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.

课堂练习

1.以下说法正确的是( )

A.正数的n 次方根是一个正数

B.负数的n 次方根是一个负数

C.0的任何次方根都是零

D.a 的n 次方根用n a 表示(*1n n N >∈且).

2.化简下列各式:

(1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x ;(5)2y)-(x .

3.计算407407-++=__________.

提出问题

(1) 整数指数幂的运算性质是什么?

(2)观察以下式子,并总结出规律:0a >,

①510a =2a =105

a ; ②8a =24)(a =4a =82a ; ③412a =443)(a =3a =124a ; ④210a =225)(a =5

a =102a . (3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗?

435,357,57a ,n m x (*0,,,1x m n N n >∈>且).

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗?

(5)你能推广到一般的情形吗?

规定:正数的正分数指数幂的意义是a m

n =n a m (*0,,,1a m n N n >∈>).

提出问题

①负整数指数幂的意义是怎样规定的?

②你能得出负分数指数幂的意义吗?

③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?

④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?

⑤分数指数幂的意义中,为什么规定0a >,去掉这个规定会产生什么样的后果?

负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边3==-),然后再按规定化成分数指数幂.

⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?

有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数,,r s 均有下面的运算性质:

(1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈ ,

(2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈,

(3)()b (0,b 0,)r r r a b a a r Q =>>∈

例1求值:①238;②1225-;③61()2-;④(8116)43

-.

点评:本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如83

2=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式(0)a >.

32a a

点评:顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.

例3计算下列各式(式中字母都是正数):

(1)2115113366

22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-

(2)31884()m n

点评:分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 变式训练

求值:

(1)33·63; (2)6463)12527(n

m .

例4计算下列各式:

(1)(125253-)÷425

(22

0)a >

例5比较5,311,6123的大小.

点评:把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.

课堂练习

1.下列运算中,正确的是

( )

236

23320236..()()1)0.()A a a a B a a C D a a ?=-=-=-=-

2.下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a (各式的,n N a R ∈∈)中,有意义的是( )

A.①②

B.①③

C.①②③④

D.①③④

3.22等于( )

A.a

B.a 2

C.a 3

D.a 4

4.

把根式-( ) 25522

2

255552.2()

.2().2().2()A a b B a b C a b D a

b --------------- 5.计算:(1)0.0271

32103410.027()2563(21)7

-----+-+-0=________.

课后作业

1.化简下列各式: (1)681;(2)1532-;(3)48x ;(4)642b a .

2.若5

3.625625-++=__________.

4.化简211

51133

66221()(3)()3a b a b a b -÷的结果是( ) A. 6a B. a - C. 9a - D. 9a

5.设54,52,x y ==则25x y -=________.

最新指数和指数幂的运算教案和课后习题汇编

指数与指数幂的运算 【知能点】 知能点1:有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=??? ?∈个 ; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3)()()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ ① 引例:a >0 102 5 a a === → ?=; 3 23 3 3 23 2 )(a a a == → ?=. ① 定义分数指数幂: 规定* 0,,,1)m n a a m n N n =>∈> ;*1 0,,,1)m n m n a a m n N n a -= = >∈> ③ 练习:A.将下列根式写成分数指数幂形式: (0,,1)a m n N n *>∈>; ; 例 1:把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式 (1)5 256a =;(2)4 28a -=;(3)765a -=;(4)()353,n m a m n N -+=∈ 解:(1)1 5 256a =;(2)1428a - =;(3)6 7 5a - =;(4)533 m n a - = 例 2:计算 (1)32 9; (2)32 16- 解:(1)() 3 3322 3 2 2 2 933 327? ====;(2)() 332312 2 116 4 464 - ---====

2.1.1指数与指数幂的运算(2)

§2.1.1指数与指数幂的运算(2) 学习目标 1. 理解分数指数幂的概念; 2. 掌握根式与分数指数幂的相互转化; 3 掌握有理数指数幂的运算. 预习案 预习课本P 50—P 52 页内容 1.正数a 的正分数指数幂=n m a (),,0*N n m a ∈> 2.正数a 的负分数指数幂=- n m a (),,0*N n m a ∈> 3.s r a a ?= (其中),,0Q s r a ∈> 4.s r a )( = (其中),,0Q s r a ∈> 5.s b a )(?= (其中),0,Q s b a ∈> 预习自测 1. 求下列各式的值: (1)3 28 (2)2 1100- (3)2 39- 2.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式中字母都是正数): (1)a a ?2 (2)323a a ? (3)a a 3.计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(2a 3 2b 2 1)(-6a 2 1b 3 1)÷(-3a 6 1b 6 5); (2)(m 4 1n 8 3- )8. 我的疑问

探究案 自主探究一: (1)观察以下式子,并总结出规律:a >0, ①510a =55 2)(a =a 2 =a 5 10; ②8a =2 4)(a =a 4 =a 2 8; ③4 12 a =44 3)(a =a 3 =a 4 12; ④210a =22 5)(a =a 5 =a 2 10. (2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 4 35,357,57a ,n m x (x>0,m,n∈+N ,且n>1). (3)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗? (4)0的正分数指数幂等于多少?0有负指数幂吗? (5)负整数指数幂的意义是怎样规定的? 合作探究 例1. 已知231 21 1322[()()] a b a b ab a ------==求的值. 变题1:已知31 =+-x x ,求下列各式的值:(1)2 12 1- +x x 例2. 比较63123,11,5的大小.

指数与指数幂的运算教案

指数与指数幂的运算 课题:指数与指数幂的运算 课型:新授课 教学方法:讲授法与探究法 教学媒体选择:多媒体教学 学习者分析: 1.需求分析:在研究指数函数前,学生应熟练掌握指数与指数幂的运算,通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数,为学习指数函数打基础. 2.学情分析:在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算,但是这对我们研究指数函数是远远不够的,通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入. 学习任务分析: 1.教材分析:本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广思想,逼近思想,教材充分关注与实际问题的联系,体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值. 2.教学重点:根式的概念及n次方根的性质;分数指数幂的意义及运算性质;分数指数幂与根式的互化. 3.教学难点:n次方根的性质;分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 教学目标阐明:

1.知识与技能:理解根式的概念及性质,掌握分数指数幂的运算,能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.过程与方法:通过探究和思考,培养学生推广和逼近的数学思想方法,提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.情感态度和价值观:在教学过程中,让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解,而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 教学流程图: 教学过程设计: 一.新课引入:

(一)本章知识结构介绍 (二)问题引入 1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系: (1)当生物死亡了5730年后,它体内的碳14含量P 的值为 (2)当生物死亡了5730×2年后,它体内的碳14含量P 的值为 (3) 当生物死亡了6000年后,它体内的碳14含量P 的值为 (4)当生物死亡了10000年后,它体内的碳14含量P 的值为 122 12?? ???6000 5730 12?? ???100005730 12?? ? ??

指数与指数幂的运算备课教案

2.1.1 指数与指数幂的运算(2课时) 第一课时根式 教学目标:1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念; 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质; 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点:根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法:学导式 教学过程: (I)复习回顾 引例:填空 m n =(m,n∈Z); a+

(II )讲授新课 1.引入: (1)填空(1),(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=;又因为n b a )(可看作 m n a a -?,所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)),这是为下面学习分 数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习n 次根式(*N n ∈)的概念。 (2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如: 分析:若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的5次方根,类似地,若2n =a ,则2叫a 的n 次方根。由此,可有:

2.n 次方根的定义:(板书) 问题1:n 次方根的定义给出了,x 如何用a 表示呢?n a x =是否正确? 分析过程: 解:因为33=27,所以3是27的3次方根;因为5)2(-=-32,所以-2是-32的5次方根; 因为632a )a (=,所以a 2是a 6的3次方根。 结论1:当n 为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:正数的n 次方根是正数,负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a 的n 次方根可表示为n a x =。 从而有:3273=,2325-=-,236a a = 解:因为4216=,16)2(4=-,所以2和-2是16的4次方根;

高中数学指数与指数幂的运算(一)

课题:指数与指数幂的运算(一) 课 型:新授课 教学目标: 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念 教学重点:掌握n 次方根的求解. 教学难点:理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:正方形面积公式?正方体的体积公式?(2a 、3a ) 2、回顾初中根式的概念:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根;如果一 个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根. → 二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景: ① 探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性. 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅,1990年人口数为a 万,则x 年后人口数为多少万? 实例2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次(8次) 计算:若报纸长50cm ,宽34cm ,厚0.01mm ,进行对折x 次后,问对折后的面积与厚度? ② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析,我国未来20年GDP (国内生产总值)年平均增长率达7.3℅, 则x 年后GDP 为2000年的多少倍? 书P52 问题2. 生物死亡后,体内碳14每过5730年衰减一半(半衰期),则死亡t 年后 体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2 t P =. 探究该式意义? ③小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算: ① 复习实例蕴含的概念:2(2)4±=,2±就叫4的平方根;3327=,3就叫27的立方根. 探究:4(3)81±=,3±就叫做81的?次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根:一般地,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N 例如:328=2= ③ 讨论:当n 为奇数时, n 次方根情况如何?, 例如: 33-, 记:x 当n 为偶数时,正数的n 次方根情况? 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记: 强调:负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 0= ④ 练习:4b a =,则a 的4次方根为 ; 3b a =, 则a 的3次方根为 . ⑤ radical ), 这里n 叫做根指数(radical exponent ), a 叫做被开方数(radicand ). ⑥ 计算2→ 探究: n 、n n a 的意义及结果? (特殊到一般) n a =. 当n 是奇数时,a a n n =;当n (0)||(0)a a a a a ≥?==?-

指数与指数幂的运算(教学设计)

2.1.1(2)指数与指数幂的运算(教学设计) 内容:分数指数幂 一、教学目标 (一)知识目标 (1)理解根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算。 (2)理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。 (二)能力目标 (1)学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力. (2)让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想. (3)训练学生思维的灵活性 (三)德育目标 (1)激发学生自主学习的兴趣 (2)养成良好的学习习惯 教学重点: 次方根的概念及其取值规律。 教学难点:分数指数幂的意义及其运算根据的研究。 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,且这种运算在初中曾经学习过,今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来,是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同时引出正整数指数幂的定义。 .然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义,分别写出 及 ,同时追问这里 的由来。 二、师生互动,新课讲解: 1.分数指数幂 看下面的例子: 当0>a 时, (1)2552510)(a a a ==,又5102=,所以510 510a a =; (2)3443412)(a a a ==,又4123=,所以412 412a a =. 从上面的例子,我们看到,当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 那么,当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢? 根据n 次方根的定义,规定正数的正分数指数幂的意义是:n m n m a a =(0>a ,1*,,>∈n N n m ). 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义. 由于分数有既约分数和非既约分数之分,因此当0

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈64748 L 个; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -* =≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3)() ()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2:无理数指数幂 若a >0,P 是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。 知能点3:根式 1、根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中( )* ∈>N n n ,1, n a 叫做根式, n 叫做根指数,a 叫被开方数。 2 (1)n N ∈,且1n >; (2)当n 是奇数,则a a n n =;当n 是偶数,则???<-≥==0 0a a a a a a n n ; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、我们规定: (1))0,,,1m n a a m n N n * =>∈>; (2))10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a (1)5 1a = (2)3 4 a = (3)35 a -= (4)32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式: (1)3 4y x = (2))0(2>= m m m (3)85 - ?? = (4= (5= ; (6)a a a = ; (7) =?a a 2 (8)=?323a a (9)=a a (10) =35 6 q p 3、求下列各式的值 (1)2 38= ;(2)12 100- = ; (3)3 1()4 -= ;(4)3 416()81-= (5)3227= ;(6)23)4936(= ;(7)23)4 25 (-= ;(8)23 25= (9)12 2 [(] - = (10)(1 2 2 1?????? = (11)=3 264

指数与指数幂的运算(一)

§2.1.1 指数与指数幂的运算(一) 学习目标:⒈理解n 次方根、根式概念,能正确应用根式的运算性质; ⒉提高认识、接受新事物的能力. 教学重点:根式的概念. 教学难点:根式的概念的理解. 教学方法:讲授式. 教具准备:投影. 教学过程: (I )复习引入: 师:请同学们思考下面的问题: 根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年,我国国内生产总值(GDP )年平均增长率可望达到7.3%.那么,在2001~2020年,各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍? 生:2001年我国的国内生产总值可望为2000年的(1+7.3%)倍; 2002年我国的国内生产总值可望为2000年的2(17.3%)+倍; 2003年我国的国内生产总值可望为2000年的3(17.3%)+倍; …… …… 设x 年后我国的国内生产总值为2000年的y 倍,那么 (17.3%)x y =+*(x N ∈,20)x ≤ 即从2000年起,x 年后我国的国内生产总值为2000年的(17.3%)x +倍. 师:整数指数幂n a 的含义是什么?它具有哪些运算性质? 生:n n a a a a a =??? 个 *()n N ∈,01a =,1n n a a -= *()n N ∈; 整数指数幂有如下运算性质: ⑴m n m n a a a +?=; ⑵()m n mn a a =; ⑶()n n n ab a b =,以上m n Z ∈、. 师:由于m n m n m n a a a a a --÷=?=,1()n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ???,所以m n m n a a a -÷=归入性质⑴,n n n a a b b ??= ??? 归入性质⑶. 下面同学们再来看一个生物数学问题: 生物学家通过研究发现,当生物死亡以后,其体内含有的放射性同位素14C

2.3指数与指数幂的运算

2.3指数与指数幂的运算 班级___________姓名____________ 一、选择题(共5小题;共25分) 1. 下列各式中正确的是 ( ) A. √(?2)26 =(?2)1 3 B. √x 3y 34 =xy 3 4(x >0,y >0) C. 223 =a 13 ?b 13 D. √x y 3 =(y x ) ?1 3 (x ≠0,y ≠0) 2. 将 532 写成根式,正确的是 ( ) A. √523 B. √3 C. √3 25 D. √53 3. 下列运算中,正确的是 ( ) A. a 2a 3=a 6 B. (?a 2)5=(?a 5)2 C. (√a ?1)0 =0 D. (?a 2)5=?a 10 4. ?25 可化为 ( ) A. a ? 25 B. a 52 C. a 25 D. ?a 52 5. 若点 (a,9) 在函数 y =3x 的图象上,则 tan aπ6 的值为 ( ) A. 0 B. √33 C. 1 D. √二、填空题(共4小题;共20分) 6. 将 ?√223 化为分数指数幂的形式为 . 7. 计算:(14) ?2 +(1 6 √2)0 ?271 3= . 8. (1) n ∈N ? 时,(√a n )n = . (2) n 为正奇数时,√a n n = ;n 为正偶数时,√a n n = . 9. 若 log a 2=m ,log a 3=n ,则 a 2m+n = 三、解答题(共3小题;共39分) 10. 求值: (1) 4? 32 +(?27 8 )2 3 ?(0.1)0; (2)[(1?√2)2]12 ?(1+√2) ?1 ?1+213÷214.

2[1].1.1指数与指数幂的运算练习题(整理)1

高一( )班 座号: 姓名: 知能点1:有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈个 ; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3) ()()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2:无理数指数幂 若a >0,P 是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。 知能点3:根式 1、根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中( )* ∈>N n n ,1, n a 叫做根式, n 叫做根指数,a 叫被开方数。 2 (1)n N ∈,且1n >; (2)当n 是奇数,则a a n n =;当n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、我们规定: (1))0,,,1m n a a m n N n * =>∈>; (2))10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a (1)5 1a = (2)3 4 a = (3)35 a -= (4)32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式: (1)3 4y x = (2))0(2>= m m m (3)85 - ?? = (4= (5= ; (6)a a a = ; (7) =?a a 2 (8)=?323a a (9)=a a (10) =35 6 q p 3、求下列各式的值 (1)2 38= ;(2)12 100- = ; (3)3 1()4 -= ;(4)3 416()81-= (5)3227= ;(6)23)4936(= ;(7)23)4 25 (-= ;(8)23 25= (9)12 2 [(]- = (10)(1 2 2 1?????? = (11)=3 264 4.化简

指数与指数幂的运算习题.doc

《指数与指数幂的运算》习题 1.下列各式正确的是 ( ) =- 3 = a = 2 D . a 0= 1 2.若 (x - 5)0 有意义,则 x 的取值范围是 ( ) A . x>5 B . x = 5 C . x<5 D . x ≠5 3.若 xy ≠0,那么等式 4x 2y 3 =- 2xy y 成立的条件是 () A . x>0,y>0 B . x>0, y<0 C . x<0, y>0 D . x<0, y<0 n + 12 1 2n + 1 2 · 4.计算 2 (n ∈ N * )的结果为 ( ) n - 2 4 ·8 B .2 2n + 5 C . 2n 2 -2n + 6 D . 1 - ( ) 2n 7 2 5.化简 23- 6 10-4 3+2 2得 ( ) A .3+ 2 B .2+ 3 C .1+2 2 D . 1+2 3 1 - 1 a 2+ 1 ) 6.设 a - a 2 =m ,则 = ( 2 a A . m 2 - 2 B .2- m 2 C . m 2+ 2 D . m 2 7.根式 a - a 化成分数指数幂是 ________. 8.化简 11+ 6 2+ 11- 6 2 =________. 9.化简 ( 3+ 2)2010·( 3- 2)2011= ________. 10.化简求值: (1) - 1 1 3 +; 3 - (- )0 +16 4 8 - 1 - 1 a + b (2) ab - 1 (a , b ≠ 0).

最新指数与指数幂的运算练习题

2.1.1指数与指数幂的运算练习题 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈64748 L 个; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -* =≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3)() ()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2:无理数指数幂 若a >0,P 是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。 知能点3:根式 1、根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中( )* ∈>N n n ,1, n a 叫做根式, n 叫做根指数,a 叫被开方数。 2 (1)n N ∈,且1n >; (2)当n 是奇数,则a a n n =;当n 是偶数,则???<-≥==0 0a a a a a a n n ; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、我们规定: (1))0,,,1m n a a m n N n * =>∈>; (2))10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a (1)5 1a = (2)3 4 a = (3)35 a -= (4)32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式: (1)3 4y x = (2))0(2>= m m m (3)85 - ?? = (4= (5= ; (6)a a a = ; (7) =?a a 2 (8)=?323a a (9)=a a (10) =35 6 q p 3、求下列各式的值 (1)2 38= ;(2)12 100- = ; (3)3 1()4 -= ;(4)3 416()81-= (5)3 227= ;(6)23)4936(= ;(7)2 3)4 25(-= ;(8)23 25= (9)12 2 [(]- = (10)(1 2 2 1?????? = (11)=3 264 4.化简

指数与指数幂的运算练习题

指数与指数幂的运算练习题 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈个 ; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3)() ()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2:无理数指数幂 若a >0,P 是一个无理数,则p a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用。 知能点3:根式 1、根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中( )* ∈>N n n ,1, n a 叫做根式, n 叫做根指数,a 叫被开方数。 2,要注意以下几点: (1)n N ∈,且1n >; (2)当n 是奇数,则a a n n =;当n 是偶数,则???<-≥==0 0a a a a a a n n ; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零。 3、我们规定: (1))0,,,1m n a a m n N n * =>∈>; (2))10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a (1)5 1a = (2)3 4 a = (3)35 a -= (4)32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式: (1) 3 4y x = (2) )0(2>= m m m (3)85 - ?? = (4= (5= ; (6)a a a = ; (7) =?a a 2 (8)=?323a a (9)=a a (10) =35 6 q p 3、求下列各式的值 (1)2 38= ;(2)12 100- = ; (3)3 1()4 -= ;(4)3 416()81-= (5)3 227= ;(6)23)4936(= ;(7)2 3)4 25(-= ;(8)23 25= (9)12 2 [(]- = (10)(1 2 2 1?????? = (11)=3 264 4.化简

高中数学指数与指数幂的运算

课题 指数与指数幂的运算(三) 课 型:练习课 教学目标: n 次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算. 教学重点:掌握根式与指数幂的运算. 教学难点:准确运用性质进行计算. 教学过程: 一、复习提问: (学生回答,老师板演) 1. 提问:什么叫做根式? 运算性质? 2. 提问:分数指数幂如何定义?运算性质? 3. 基础习题练习: (口答下列基础题) ① n 为 时,(0) ||...........(0)x x x ≥?=?

1. 化简:)()(41412121y x y x -÷-. 2. 已知12(),0x f x x x π=?>,试求 )()(21x f x f ?的值 3. 用根式表示2134()m n -, 其中,0m n >. 4. 已知x +x -1=3,求下列各式的值:.)2(,)1(23232121--++x x x x 5. 求值:2325; 2327; 3236()49; 3225()4- 6. 已知32x a b --=+, . 7.从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升,然后用水填满,再倒出3 1升,又用水填满,这样进行5次,则容器中剩下的纯酒精的升数为多少? 四、小结: 1. 熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础. 2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 五,作业 化简:(1)2932)- (2 (3)

指数与指数幂的运算(基础)

指数与指数幂的运算 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数! 学习目标: 1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质 (1)理解n 次方根,n 次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算; (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确进行根式与分数指数幂的互化; (3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念,将指数的取值范围推广到实数集; 3.通过指数范围的扩大,我们要能理解运算的本质,认识到知识之间的联系和转化,认识到符号化思想的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力; 4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识,能学会透过表面去认清事物的本质. 学习策略: 学习实数指数幂及其运算时,应熟练掌握基本技能:运算能力、处理数据能力以及运用科学计算器的能力. 二、学习与应用 (1 )零指数幂:a 0= (a 0) “凡事预则立,不预则废”.科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性.我们要在预习的基础上,认真听讲,做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记. 知识回顾——复习 学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗?

(2)负整数指数幂:a-p= (a0, p是数) (3)一般地,如果一个数x的等于a,即a x= 2,那么,这个数x就叫做a的平方根。也叫做二次方根.一个正数有个平方根,它们是互为;0只有个平方根,它是;负数平方根. (4)一般地,如果一个数的等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 要点一:整数指数幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念 ( )* .................................... n a n Z =∈; () ...................................... a a =; ................................... (0,) n a a n Z* -=∈. 2.运算法则 (1)m n a a?=; (2)()n m a=; (3)() ............................ m n a m n a a =>≠ ,; (4)()m ab=. 要点二:根式的概念和运算法则 1.n次方根的定义: 若x n=y(n∈N*,n>1,y∈R),则x称为y的n次方根. n为奇数时,正数y的奇次方根有个,是数,记为n y;负数y的 奇次方根有个,是数,记为n y;零的奇次方根为,记为 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听 课学习.课堂笔记或者其它补充填在右栏.预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID:#10160#391630

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算

指数与指数幂的运算(第一课时) 一、学习目标: 1、在初中根式的基础上,理解并掌握n次根式的概念,并会应用它们进行简单的计算; 2、理解分数指数幂的意义,学会根式与分数指数幂的互化,并会利用他们之间的互化对式子进行化简。 3、了解分数指数幂的运算性质与无理指数幂是一个确定的数。 二、学习重点与难点: 重点:根式与分数指数幂的互化; 难点:利用根式与分数指数幂的互化对式子进行化简。 预习: 1、通过阅读书上49页的内容,你能回答什么是n次方根吗?一定要知道什么是根式、根指数、被开方数的概念。 2、通过上面的阅读你能知道 2, a33 分别等于什么吗?n n a 呢? a 3、能自己把书上50页的例1作出来吗? 4、阅读分数指数幂的概念,自己进行思考,并回答下列问题:

1)正分数指数幂的分母和分子分别相当于根式中的哪一部分?这个正分数能进行约分吗? 2)负分数指数幂的化简步骤是怎样的? 3)0的分数指数幂是怎样规定的? 5、做书上51、52页的例题。 6、阅读无理指数幂的内容,了解无理指数幂是一个确定的实数,有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂。 7、做书上54页练习。

新课: 一、关于前面预习的内容你有问题问老师吗? 二、测试一下你的预习效果好吗? 请做下面几道题: 4 3 -2 1 - 3 -3 2 81 164100 34 128 1) )()) )() 三、知识链接: 1、在初中我们学习了整数指数幂的有关知识,下面一起来回忆一下: ??? ????∈≠=≠=?????=-),0(1) 0(1*0 N n a a a a a a a a a n n a n n 43421个概念 2、整数指数幂有如下的运算性质:

指数与指数幂的运算教学设计

教学设计 课题名称:指数与指数幂的运算 姓名:曾小林学科年级:必修一教材版本:人教A版 新授课 教学方法:讲授法与探究法 教学媒体选择:多媒体教学 学习者分析: 1.需求分析:在研究指数函数前,学生应熟练掌握指数与指数幂的运算,通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数,为学习指数函数打基础 2.学情分析:在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算,但是这对我们研究指数函数是远远不够的,通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入。 学习任务分析: 1.教材分析:本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广思想,逼近思想,教材充分关注与实际问题的联系,体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值 2.教学重点:根式的概念及n次方根的性质;分数指数幂的意义及运算性质;分数指数幂与根式的互化。 3.教学难点:n次方根的性质;分数指数幂的意义及分数指数幂的运算。 教学目标阐明: 1.知识与技能:理解根式的概念及性质,掌握分数指数幂的运算,能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化。 2.过程与方法:通过探究和思考,培养学生推广和逼近的数学思想方法,提高学生的知识迁移能力和主动参与能力。 3.情感态度和价值观:在教学过程中,让学生自主探索来加深对n次方根和分数指数幂的理解,而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面。 教学流程图:

教学过程设计: 一.新课引入: (一)本章知识结构介绍 (二)问题引入 1.问题: 当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系: 5730 21t P ? ? ? ??= (1)当生物死亡了5730年后,它体内的碳14含量P 的值为 2 1 (2)当生物死亡了5730×2年后,它体内的碳14含量P 的值为2 21?? ? ?? (3)当生物死亡了6000年后,它体内的碳14含量P 的值为5730 600021? ? ? ?? (4)当生物死亡了10000年后,它体内的碳14含量P 的值为5730 1000021?? ? ?? 三.学习过程: 一、课前导读:认真阅读课本P48~P53(A ) 1、正整数指数幂具有以下性质: ① m n a a ?= (m 、n ∈N+) ② ()m n a = (m 、n ∈N+) ③ ()n ab = (n ∈N+) ? ?? ????? ??????? ??? ?幂函数对数函数及其性质对数也对数运算 对数函数指数函数及其性质指数与指数幂的运算 指数函数基本初等函数

必修1教案2.1.1指数与指数幂的运算(二)

2.1.1 指数与指数幂的运算(二) (一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解分数指数幂的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. (二)教学重点、难点 1.教学重点:(1)分数指数幂的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂概念的理解 (三)教学方法 发现教学法 1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. (四)教学过程 .老师提问,

如:义为:

备选例题 例1计算 (1).)01.0(4122 5325.02 12 -?? ? ???+?? ? ??- - (1)5.121 3 2 4 1)9 1 ()6449()27()0001 .0(--- +-+; 【解析】 (1)原式1122 141149100???? =+ ?- ? ????? 11111.61015 =+-= (2)原式=23 22123 2 34 14])2 1[(])87[()3() 1.0(---+-+ =3121)31 ()87(31.0---+-+ =7 314 2778910=+-+.

2019-2020学年高中数学 第2章《指数与指数幂的运算》教案(二).doc

2019-2020学年高中数学 第2章《指数与指数幂的运算》教案(二) 课 型:新授课 教学目标: 使学生正确理解分数指数幂的概念,掌握根式与分数指数幂的互化,掌握有理数指数幂的运算. 教学重点:有理数指数幂的运算. 教学难点:有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:什么叫根式? →根式运算性质:()n n a =?、n n a =?、 np mp a =? 2. 计算下列各式的值:22()b - ;33(5)-;243,510a ,3 97 二、讲授新课: 1. 教学分数指数幂概念及运算性质: ① 引例:a >0时,1051025255 ()a a a a === → 312?a =; 3 23 33232)(a a a == → ?a =. ① 定义分数指数幂: 规定* (0,,,1)m n m n a a a m n N n =>∈>;*11 (0,,,1)m n m n m n a a m n N n a a -= = >∈> ③ 练习:A.将下列根式写成分数指数幂形式:n m a (0,,1)a m n N n *>∈>;253;3 45 B. 求值 2327; 25 5; 43 6- ; 52 a - . ④ 讨论:0的正分数指数幂? 0的负分数指数幂?⑤ 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质:0,0,,a b r s Q >>∈ r a ·s r r a a +=; rs s r a a =)(; s r r a a ab =)(. 2. 教学例题: (1)、(P 51,例2) 解:① 2223323 3 3 8(2)224?==== ② 1 112() 2 122 2 125 (5) 5 55 -- ?--==== ③ 5 151(5)1() (2)2322 ----?-=== ④334()344 162227()()()81338 -?--=== (2)、(P 51,例3)用分数指数幂的形式表或下列各式(a >0) 解:11733 3 2 22 .a a a a a a +=?== 2 2823 2 2 2 3 3 3 a a a a a a + ?==

高一数学指数与指数幂的运算

所有的成就在开始时都不过只是一个想法,坚持到底才是成为一个卓越的成功者的途径。 1 第十一节 指数与指数幂的运算 学习目标 1、理解根式、分数指数幂、无理数指数幂的含义 2、会进行根式、分数指数幂、无理数指数幂的简单化简和计算 知识框架 1.根式的概念 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根(n th root ),其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时,a 的n 次方根用符号n a 表示. 式子n a 叫做根式(radical ),这里n 叫做根指数(radical exponent ),a 叫做被开方数(radicand ). 当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号-n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a (a >0). 由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n . 思考:n n a =a 一定成立吗? 结论:当n 是奇数时,a a n n = 当n 是偶数时,?? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定:

所有的成就在开始时都不过只是一个想法,坚持到底才是成为一个卓越的成功者的途径。 2 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 4.无理指数幂 指出:一般地,无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 随堂练习 1、化简:778888)()(b a b a b -+++ 2、若,310,210==n m 则._____2 310=-n m 3、.______)3()3(22=? 4、.________39623223=?+?-- 5、设,30,5,363===c b a 则c b a ,,的大小关系为._____________ 6、设,21=+-x x 则._________22=+-x x 7、._______2222824=???

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