2007美国大学生数学建模竞赛A题特等奖论文

ApplyingVoronoiDiagramstotheRedistricting

Problem

May10,2007

Abstract

Gerrymanderingisanissueplaguing legislativeredistrictingresultingfrominade-quateregulation.Here,wepresentanovelapproachtotheredistrictingproblem,anapproacht hatusesastate‘s populationdistributiontodrawthelegislativebound-

aries.Ourmethodutilizes Voronoi andpopulation-weighted Voronoiesque diagrams, andwaschosenforthesimplicityofthegeneratedpartition:Voronoiregionsarecon-tiguous,compact,andsimpletogenerate.WefoundregionsdrawnwithVoronoiesquediagra msattainedsmallpopulationvarianceandrelativegeometricsimplicity.Asaconcreteexam ple,weappliedourmethodstopartitionNewYorkstate.SinceNewYorkmustbedivided

into29legislativedistricts,each receivesroughly3.44 %ofthepopulation.OurVoronoiesquediagrammethod

generated29regionswithanaveragepopulationof(3.34±0.74)%.Wediscussseveralrefine mentsthatcouldbemadetothemethodspresentedwhichmayresultinsmallerpopulationvari ationbetweenre-gionswhilemaintainingthesimplicityoftheregionsandobjectivityofthemethod.Finally,w eprovideashortstatementthatcouldbeissuedtothevotersofNewYorkstatetoexplainourme thodandjustifyitsfairnesstothem.

1

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Contents

1Introduction 4

1.1CurrentModels (4)

1.2DevelopingOurApproach (5)

2NotationandDefinitions 5 3TheoreticalEvaluationofourModel 6 4MethodDescription 7

4.1VoronoiDiagrams (7)

4.1.1 UsefulFeaturesofVoronoiDiagrams (8)

4.2VoronoiesqueDiagrams (8)

4.3DeterminingGeneratorPointsUsingPopulationDensityDistributions (9)

4.4ProcedureforCreatingRegionsusingVoronoiandVoronoiesqueDiagrams. 10

5RedistrictinginNewYorkState 10

5.1PopulationDensityMap (11)

5.2LimitationsoftheImage-BasedDensityMap (11)

5.3SelectingGeneratorPoints (11)

5.4ApplyingVoronoiDiagramstoNY (14)

5.5ApplyingVoronoiesqueDiagramstoNY (14)

5.6PreciselyDefiningBoundaryLines (17)

6Analysis 17

6.1NewYorkStateResults (17)

6.2GeneralResults (18)

7ImprovingtheMethod 18

7.1BoundaryRefinement (18)

7.2GeographicObstacles (19)

8BulletintotheVotersoftheStateofNewYork 19 9Conclusion 20 ListofFigures

1IllustrationofVoronoidiagramgeneratedwithEuclideanmetric.Notethecompactnessa ndsimplicityoftheregions (7)

2Illustrationofthepro cessof?gr o wing‘a Voronoiesquediagramwithrespecttoa populationdensity.Onlythreethreegeneratorpointsareused.Figures

fromlefttorightiteratewithtime. (9)

Team1034Page3of21 3Illustrationofcreatingdivisionsbyfirstsubdividingthemap. Left: Pop-

ulationdensitydistributionofhypotheticalmapwithfivedesireddistricts.Middle:Asubdi visionofthemapintotworegionsgeneratedfromtwoun-showngeneratorpoints. Right:

Finaldivisionofeachsubregionfromthemiddlefigureintodesiredfinaldivisions. (10)

4NewYorkStatepopulationdensitymap.Dataobtainedfroma792-by-

660pixelrasterimage;colorandheightindicatetherelativepopulationdensity

ateachpoint (12)

5DepictionoftheimplamentationofVoronoidiagramswiththeManhat- tanmetricinthethreestepprocessof:assigningdegeneraciestogeneratorpoints

,usingthedegeneratepointstogenerateregionsusingtheVoronoidiagrammeth

od,andcreatingsubregionsoftheregionsgeneratedbyde-

generatepoints.Onlythelasttwostepsaredepicted.TheprocessforVoronoiesq

uediagramsisthesame. (Dotsineachregionrepresentgenera-

torpointlocations.) (13)

6Voronoidiagramsgeneratedwiththreedistancemetricsbeforesubdivisionofdens elypopulatedregions.(Dotsineachregionrepresentgeneratorpoint

locations.) (15)

7DistrictscreatedbytheVoronoiesquediagramforNewYorkstate.Averagepopulat ionperregion=(3.34±0.74)%. (Dotsineachregionrepresent

generatorpointlocations.) (16)

8IllustrationofVoronoidiagramgenerationwhichtakesgeographicobstacles intoaccount (19)

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1Introduction DefiningCongressionaldistrictshaslongbeenasourceofcontroversyintheUnitedStates.Sincethe district-

drawersarechosenbythosecurrentlyinpower,theboundariesareoftencreatedtoinfluencefutureel ectionsbygroupinganunfavorableminoritydemographicwithafavorablemajority;thisprocessisc alled Gerrymandering.Itiscommonfordistrictstotakeonbizarreshapes,spanningslimsectionsof multiplecitiesandcriss-

crossingthecountrysideinahaphazardfashion.Theonlylawfulrestrictionsonlegislativeboundari esstipulatethatdistrictsmustcontainequalpopulations,butthemakeupofthedistrictsisleftentirelyt othedistrict-drawers.

IntheUnitedKingdomandCanada,thedistrictsaremore compact andintuitive.TheirsuccessinmitigatingGerrymanderingisattributedtohavingturnedoverthetask ofboundary-drawingtononpartisanadvisorypanels.However,theseindependentcom-missionscantake2-

3yearstofinalizeanewdivisionplan,callingtheireffectivenessintoquestion.ItseemsclearthattheU .S.shouldestablishsimilarunbiasedcommissions,yetmakesomeefforttoincreasetheefficiencyoft hesegroups.Accordingly,ourgoalistodevelopasmalltoolboxthataidsintheredistrictingprocess. Specifically,wewillcreateamodelthatdrawslegislativeboundariesusingsimplegeometricconstr uctions.

1.1CurrentModels Themajorityofmethodsforcreatingdistrictsfallintotwocategories:onesthatdependon acurrentdivisionarrangement(mostcommonlycounties)andonesthatdonotdependoncurrentdivi sions. Most fallintothe formercategory. By usingcurrent divisions,theproblemisreducedtogroupingthesedivisionsinadesirablewayusingamultitudeofm https://www.sodocs.net/doc/1e9450743.html,esgraphpartitioningtheorytoclustercountiestototalpop ulationvariationofaround2%oftheaveragedistrictsize[8].HessandWeaveruseaniterativeprocess todefinepopulationcentroids,useintegerprogrammingtogroupcountiesintoequallypopulateddis tricts,and then reiterate the process untilthecentroidsreachalimit[5].GarfinkelandNemhauseruseiterativematrixoperationstosearch fordistrictcombinationsthatarecontiguousandcompact[3].Kaiserbeginswiththecurrentdistricts andsystematicallyswapspopulationswithadjacentdistricts[4].Allofthesemethodsusecountiesas theirdivisionssincetheypartitionthestateintoarelativelysmallnumberofsections.Thisisnecessar ybecausemostofthemathematicaltoolstheyusebecomeslowandimprecisewithmanydivisions.( Thisisthesameassayingtheybecomeunusableinthelimitwhenthestateisdividedintomorecontinu ous sections.)Thususingsmalldivisions,likezipcodeswhichonaverageare5timessmaller thanacountyinNewYork,becomesimpractical.

Theothercategoryofmethodsislesscommon.Outofallourresearchedpapersanddocumen tation,therewereonlytwomethodsthatdidnotdependoncurrentstatedivisions.F orrest‘smeth odcontinuallydividesastateintohalveswhilemaintainingpop-ulationequalityuntiltherequirednumberofdistrictsissatisfied[4,5].Hale,RansomandRamse ycreatepie-

shapedwedgesaboutpopulationcenters.Thiscreateshomogeneousdistrictswhichallcontain portionsofalargecity,suburbs,andlesspopulatedareas[4].Theseapproachesarenotedforbein gtheleastbiasedsincetheironlyconsiderationispopulationequalityanddonotusepreexistingd ivisions.Also,theyarestraightforward

Team1034 Page5of21 p Q R

toapply.However,theydonotconsideranyotherpossiblyimportantconsiderationsfordistricts,suc has:geographicfreauresofthestateorhowwelltheyencompasscities.

1.2 DevelopingOurApproach

Sinceourgoalistocreatenewmethodsthataddtothediversityofmodelsavailabletoacommittee,we shouldfocusoncreatingdistrictboundariesindependentlyofcurrentdivisions.Notonlyhasthisapp roachnotbeenexploredtoitsfullest,butitisnotobviouswhycountiesareagoodbeginningpointfora model:Countiesarecreatedinthesame

arbitrarywayasdistricts,sotheymightalsocontainbiases,sincecountiesaretypically

notmuchsmallerthandistricts.Manyofthedivisiondependentmodelsenduprelaxingtheirboundar iesfromcountylinesinordertomaintainequalpopulations,whichmakestheinitialassumption

ofusing countydivisionsuseless,andalso allows forgerrymanderingifthisrelaxationmethodisnotwellregulated.

Treatingthestateascontinuous(i.e. withoutpreexistingdivisions)doesnotleadto

anyspecifictypeofapproach.Itgivesusalotoffreedom,butatthesametimewecanimposemorecond itions.IftheForrestandHaleet.al.methodsareanyindication,weshouldfocusonkeepingcitieswithi ndistrictsandintroducegeographicalconsiderations.(Notethattheseconditionsdonothavetobeco nsideredifweweretotreattheproblemdiscretelybecausecurrentdivisions,likecounties,areprobab lydependentonprominentgeographicalfeatures.)

Goal:Createamethodforredistrictingastatebytreatingthestatecontinu- ously.Werequirethefinaldistrictstocontainequalpopulationsandbecontiguo us.Additionally,thedistrictsshouldbeassimpleaspossible(see §2foradefinitionofsimple)andoptimallytakeintoaccountimportant geographicalfeaturesofthestate.

2 NotationandDefinitions

? contiguous:Aset R iscontiguousifitispathwise-connected.

? compactness:Wewouldlikethedefinitionofcompactnesstobeintuitive. One waytolookatcompactnessistheratiooftheareaofaboundedregiontothesquareofitsperimet

er. Inotherwords

A R 1 C R 2 =4π

where C R isthecompactnessofregion R ,A R isthearea,p R istheperimeterand

Q istheisoperimetricquotient. Wedonotexplicitelyusethisequation,butwedo

keepthisideainmindwhenweevaluateourmodel.

? simple:Simpleregionsarecompactandconvex.Notethatthisdescribesarelativequality,sow ecancompareregionsbytheirsimplicity.

Team1034Page6of21?Voronoidiagrams:apartitionoftheplanewithrespecttonnodesintheplane

suchthatpointsintheplaneareinthesameregionofanodeiftheyareclosertothatnodethantoan yotherpoint(foradetaileddescription,see§4.1)

?generatorpoint:anodeofaVoronoidiagram

?degeneracy: thenumberofdistrictsrepresented byonegeneratorpoint

?Voronoiesquediagram:

avariationoftheVoronoidiagrambasedonequalmassesoftheregions(see§4.2)

?populationcenter:aregionofhighpopulationdensity

3TheoreticalEvaluationofourModel

Howweanalyzeourmo del‘sresultsisatri ckyaffairsincethereisdisagreementintheredistrictinglite ratureonkeyissues.Populationequality isthemostwelldefined.Bylaw,thepopulationswithindist rictshavetobethesametowithinafewpercentoftheaveragepopulationperdistrict.Nospecificperce ntageisgiven,butbeassumedtobearound5%.

Creatingasuccessfulredistrictingmodelalsorequires contiguity.Inaccordancewithstatel aw,districtsneed tobepath-wiseconnectedsothat onepartofadistrict cannotbeononesideofthestateandtheotherpartontheotherendofthestate.Thisrequirementis meant tomaintainlocalityandcommunitywithindistricts.Itdoesnot,however,restrict islandsdistrictsfromincludingislandsiftheisland‘s populationisbelowtherequiredpopulatio nlevel.

Finally,thereisadesireforthedistrictstobe,inoneword,simple.Thereislittletonoagreeme ntonthischaracteristic,andthemostcommonterminologyforthisis compact.Taylordefinessi mpleasameasureofdivergencefromcompactnessduetoindentationoftheboundaryandgivesa nequationrelatingthenon-

reflexiveandreflexivein terioranglesofaregion‘s boundary[9].Youngprovidessevenmoreme asuresofcompactness.The Roeck testisaratiooftheareaofthelargestinscribablecircleinaregi ontotheareaofthatregion.The Schwartzberg testtakesratiobetweentheadjustedperimeterof aregiontoatheperimeterofacirclewhoseareaisthesameastheareaoftheregion.The momento finertia testmeasuresrelativecompactnessb ycomparing―mome n tsofinertia‖ofdiffere ntdist rictarrangements.The Boyce-

Clark testcomparesthedifferencebetweenpoin tsonadistrict‘s boundaryandthecenterofmass ofthatdistrict,wherezerodeviationofthesedifferencesismostdesirable.The perimetertest c omparesdifferentdistrictarrangementsbuycomputingthetotalperimeterofeach.Finally,ther eisthe visual test.Thistestdecidessimplicitybasedonintuition[11].

Y oungnotesthat―ameasure[ofcompactness]onlyindicateswhenaplanismore compactthananother‖[11].Thus,notonlyistherenoconsensusonhowtoanalyzeredistrictin gproposals,itisalsodifficulttocomparethem.

Finally,weremarkthattheabovelistonlyconstrainstheshapeofgenerateddistricts.Wehavenot mentionedofanyotherpotentiallyrelevantfeature.Forinstance,itdoesnotconsiderhowwellpopula tionsaredistributedorhowwellthenewdistrictboundariesconformwithotherboundaries,likecoun tiesorzipcodes.Evenwiththisshortlist,itis

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VoronoiDiagram

Figure1:IllustrationofVoronoidiagramgeneratedwithEuclidean

metric.Notethecompactnessandsimplicityoftheregions. clearthatwearenotinapositiontodefinearigorousdefinitionofsimplicity.Whatwecando,how ever,isidentifyfeaturesofourproposeddistrictswhicharesimpleandwhich

arenot.Thisisinlinewithourgoaldefinedinsec.1.2,sincethislistcanbeprovidedtoadistricting commissionwhodecidehowrelevantthosesimplefeaturesare.Wedonotexplicitlydefine si mple,welooselyevaluatesimplicitybasedonoverallcontiguity, compactness, convexity, and intuitiveness of the mo del’s districts.

4MethodDescription OurapproachdependsheavilyonusingVoronoidiagrams.Webeginwithadefinition,itsfeatur es,andmotivateitsapplicationtoredistricting.

4.1VoronoiDiagrams

AVoronoidiagramisasetof

polygons,calledVoronoipolygons,formedwithrespectto n generatorpointscontainedintheplane. Eachgenerator p i iscontainedwithinaVoronoipolygon V(p i)withthefollowingproperty: V(p i)={q|d(p i,q)≤d(p j,q),i I=j}where d(x,y)isthedistancefrompoint x to y

Thatis,thesetofallsuch q isthesetofpointscloserto p i thantoanyother p j.Thenthediagramisgiv enby(seefig1)

V={V(p1),...,V(p n)}

Notethatthereisnoassumptiononthemetricweuse. Outofthemanypossiblechoices,weusethethreemostcommon:

?EuclideanMetric: d(p,q)=(x p?x q)2+(y p?y q)2

Team1034 Page8of21 i (t )

? ManhattanMetric:d (p,q )=|x p ?x q |+|y p ?y q | ? UniformMetric:d (p,q )=max {|x p ?x q |,|y p ?y q |}

4.1.1 UsefulFeaturesofVoronoiDiagrams

Hereisasummaryofrelevantproperties:

? TheVoronoidiagramforagivenset ofgeneratorpointsisuniqueandproducespolygons,whicharepathconnected.

? Thenearestgeneratorpointto p i determinesanedgeof V (p i )

? ThepolygonallinesofaVoronoipolygondonotintersectthegeneratorpoints.

? WhenworkingintheEuclideanmetric,allregionsareconvex.

Thesepropertiesareimportantforourmodel.Thefirstpropertytellsusthatregard-

lessofhowwechooseourgeneratorpointswegenerateuniqueregions.Thisisgoodwhenconsid eringthepoliticsofGerrymandering.

Thesecondpropertyimpliesthateachregionisdefinedintermsofthesurroundinggeneratorpoi ntswhileinturn,eachregionisrel-

ativelycompact.ThesefeaturesofVoronoidiagramseffectivelysatisfytwooutofthethreec riteriaforpartitioningaregion: contiguityandsimplicity .

4.2 Voronoiesque Diagrams

ThesecondmethodweusetocreateregionsisamodificationoftheintuitiveconstructionofVoronoid iagrams.ThemethoddoesnotfallunderthedefinitionofVoronoidiagrams,butsinceitissimilartoV oronoidiagrams,wecallthemVoronoiesquediagrams.Oneway

tovisualizetheconstructionofVoronoidiagramsistoimagineshapes(determinedbythemetric)that growradiallyoutwardataconstantratefromeachgeneratorpoint.IntheEuclideanmetrictheseshape sarecircles.IntheManhattanmetrictheyarediamonds.IntheUniformmetric,theyaresquares.Thei nterioroftheseshapesformtheregionsofthediagram.Astheregionsintersect,theyformtheboundar ylinesfortheregions.Withthispictureinmind,wedefineVoronoiesquediagramstobetheboundari esdefinedbytheintersectionsofthesegrowingshapes.ThefundamentaldifferencebetweenVorono iandVoronoiesquediagramsisthatVoronoiesquediagramsgrowtheshapesradiallyoutwardataco nstantratelikeVoronoidiagrams.Theirradialgrowthisdefinedwithrespecttosomerealfunctionon asubsetof R 2(representingthespaceonwhichthediagramis beinggenerated).Seefig.2

Morerigorously,wedefineaVoronoidiagramtobetheintersectionsofthe V (t )‘s,where V i istheV oronoiesqueregion,orjust?region‘,generated bythegeneratorpoint p i at iteration t .Witheveryiterations,

(t ) (t +1)

and V i

?V i r r

f (x,y )dA =

V i

V j f (x,y )dA

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Figure2:Illustrationofthepro cessof?gr o wing‘a Voronoiesquediagramwithrespecttoapopul ationdensity.Onlythreethreegeneratorpointsareused.Figuresfromlefttorightiteratewithtim e.

forall V i ,V j representingdifferentregions.Themannerinwhichthe V (t )

‘saregr ownradiallyfromoneit erationtothenextisdeterminedbythemetricused.

What‘susefula boutVoronoiesquediagramsisthattheirgrowthcanbecontrolledbyrequiri ngthat the areaunder the function f foreach regionisthe sameat every iteration.Inourmodel,wetake f tobethepopulationdistributionofthestate.Thustheaboveequa tionisastatementofpopulationequality.Also,when f isconstant,theregionsgrowata

constantrate,sotheresultingdiagram isVoronoi.

ThefinalconsiderationforusingVoronoiesquediagramsisdeterminingthelocationforgenerat orpoints.

4.3 DeterminingGeneratorPointsUsing PopulationDensityDis-

tributions

Fornow,wehavedefinedhowtogenerateregionsgivenasetofgeneratorpoints.Hereweconsiderho wtodefinethegeneratorpointsinordertocreateVoronoiandVornoiesquediagrams.InthecaseofVo ronoidiagrams,thisisouronlydegreeoffreedomsincegen-

eratorpointsgenerateuniqueVoronoiregions.Wefoundnowelldefinedalgorithmtodo

this,butinsteadcameupwithaprocedurethatfunctionsdecently.

Ourfirstapproachistoplacegeneratorpointsatthe m largestsetofpeaksthatarewelldistributedth roughout the state,(where m is the required number of districts inthatstate).Bychoosinggeneratorpointsinthisway,wekeeplargercitieswithintheboundarieswe willgeneratewithVoronoiorVornoiesquediagramsandwemakesure

thegeneratorpointsarewelldispersedthroughoutthestate.Oneproblemthatarisesiswhencitiesare solargethatinorderfordistrictstoholdthesameamountofpeople,acity

mustbedividedintodistricts.Aperfectexample isNewYorkCity, whichcontainsenough peopletohold13districts.Takinglargecitiesintoaccounttakesextraconsideration.

Oursecondapproachistochoosethelargestpeaksinthepopulationdistributionandassigneachp eakwithaweight.Theweightforeachgeneratorpointisthenumberofdistrictsthepopulationsurroun dingthatpeakneedsto bedividedinto.We callthisweightthedegeneracyofthegeneratorpoint.Webeginassigninggeneratorpointstothehigh estpopulatedcitieswiththeircorresponding

degeneraciesuntilthesumofallthegeneratorpointsandtheirrespectivedegeneraciesisequalto m . Inotherwords,until:

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Figure3:Illustrationofcreatingdivisionsbyfirstsubdividingthemap.Left:Populationdensitydistr ibutionofhypotheticalmapwithfivedesireddistricts.Middle:Asubdivisionofthemapintotworegi onsgeneratedfromtwounshowngeneratorpoints.Right:Finaldivisionofeachsubregionfromthem iddlefigureintodesiredfinaldivisions.

「

degeneracyofgeneratorpt.=m

allgenerator pts.

AswewillseewhenweapplyourmodeltoNewYork,thismethodworkswell.Itshouldbenot ed,though,thatthisis

nottheonlywaytodefinethelocationofgeneratorpoints,butitisaverygoodstart.

4.4ProcedureforCreatingRegionsusingVoronoiandVoronoiesqueDiag

rams

Oncewehaveourgeneratorpoints,wecangenerateourdiagramswithtwomoresteps:firstgeneratet hediagramusingthegivengeneratorpoints.Withineachgeneratedregion, calledasubdivision,withsomedegeneracy r,create r newgeneratorpointswithinthatsubdivisionb yfindingthe r largestpopulationdensitypeaksandcreateanotherdiagram.Seefig.3

5 RedistrictinginNewYorkState

Atthispoint,wehavedescribedageneralprocedureforgeneratingpoliticaldistrictswithVoronoidi agramswhichseemseffective.WenowturnourattentiontotestingourmodelsonNewYork.

?hasregionswithlargepopulationdensity,

?hasregionswithconstrainedgeography,

?and mustbedividedintomany(29)regions.

Team1034Page11of21 Webeginbyexplainingourmethodforchoosinggeneratorpointsatpopulationcenters,sincethe sepointswilluniquelydetermineaVoronoidiagramforthestate.Thenwedescribeseveralmethodsf orgeneratingVoronoiandVoronoiesquediagramsfromthesepointsandpresentthecorrespondingr esults.Finallywediscusshow tousethesediagramstocreateactualpoliticaldistrictsforNewYorkstate.

5.1PopulationDensityMap ToapplyourVoronoidiagrammethodstoNewYork,wefirstobtainanapproximatepopulation densitymapofthestate.TheU.S.CensusBureaumaintainsadatabase[2]whichcontainscensus tract-

levelpopulationstatistics;whencombinedwithboundarydata[1]foreac htract,it‘s possibletog enerateadensitymapwitharesolutionnocoarserthan 8,000people perregion[7].Unfortunately,ourlimitedexp eriencewiththeCensusBureau‘sdataformatpre v entedusfromaccessingthisdatadirectly,andwecontentedourselveswitha792-by-

660pixelapproximationtothepopulationdensitymap[6].

WeloadedthisrasterimageintoMATLABandgenerated asurface plotwhereheight represented populationdensityateachpoint. Toremoveartifactsintroduced byusing acoarse latticerepresentationforfinely-distributeddata,we applieda6-pixelmoving averagefiltertothedensitymap.Theresultingpopulationdensityisshowninfig.4.

5.2LimitationsoftheImage-BasedDensityMap Thepopulationdensityimageweusedyieldedadensityvalueforeverythirdofasquaremilefromthef ollowingset(measuredinpeoplepersquaremile):

{0, 10, 25, 50,100, 250,500, 1000,2500, 5000}. Thisprovidesadecentapproximationforregionswithadensitysmallerthan5,000people/sq.mi. However,sinceNewYorkCit y‘s averagepopulationdensityis26,403people/sq.mi.[10],theap proximationwillbreakdownatlargepopulationcenters.

5.3SelectingGenerator Points Ourcriteriaforredistrictingthestatestipulatesthattheregionswegenerate mustcontainequalpopulations.

NewYorkstatemustbedividedinto29congressionaldistrictsto supportitsshareofrepresentatives,soeachregionmustcontain≈3.45%ofthestate‘s

p opulation. Sinceastate‘s populationisconcentratedprimarilyinasmallnumberof

cities,weuselocalmaximaofthepopulationdensitymapascandidatesforgeneratorpoints.

Ifweweretosimplychoosethehighest29peaksfromthepopulationdensity mapas oursetofgeneratorpoints,theresultingsetwouldbecontainedentirelyinthelargestpopulationc entersandwouldnotbewelldistributedevenlyoverstate.Forthelargestpopulationcenters,wea ssignasinglegeneratorpointwithadegeneracyasdescribedin

4.3.Afterallthegeneratorpointshavebeenassigned,wegenerateaVoronoidiagramforthestate.Th en,wereturntotheregionswithdegenerategeneratorpointsandrepeattheprocessoffindinggenerat orpointsforthatregionandgenerateaVoronoidiagramfromthem.Seefig.3foranillustrationofthed ecompositionbeforeandaftersubdivision.

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(a)TopView:

WhiteareasrepresenthighpopulationdensityoverNewYor

k

(b)AngledView:ClearerviewofpopulationdistibutionoverNewYork

Figure4:NewYorkStatepopulationdensitymap.Dataobtainedfroma792-by-

660pixelrasterimage;colorandheightindicatetherelativepopulationdensityateachpoint.

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(a)RegionscreatedusingtheManhattanmetricbeforesubdivisionsareim-

plemented.

(b)Regions createdusingtheManhattanmetricaftersubdivisionsareimple-

mented.SubdivisionsarecreatedinNewYorkCity,Buffalo, Rochester,

andAlbany

Figure5:DepictionoftheimplamentationofVoronoidiagramswiththeManhattanmetricinthe threestepprocessof:assigningdegeneraciestogeneratorpoints,usingthedegener-atepointstogenerateregionsusingtheVoronoidiagrammethod,andcreatingsubregionsof the regionsgeneratedby degeneratepoints.Only thelast two stepsare depicted.Theprocess forVoronoiesquediagramsisthesame.(Dotsineachregionrepresentgeneratorpointlocations. )

Team1034Page14of21 BasedonourdensitydataforNewYorkstate,wesubdividetheregionaroundNewYorkCityi nto12subregions,Buffalointo3subregions,andRochesterandAlbanyinto2subregions.Notet hatthisroughlycorrespondstothecurrentallocation,whereNewYorkCityreceives14districts, Buffalogets3,andRochesterandAlbanybothgetroughly2.Here,NewYorkCit y‘s population isunderestimatedsincetheaveragedensitytherefarexceedsour

data‘sdensi tyrange.Withamoredetailed dataset,our methodwouldhavecalledforthecorrectnumberofsubdivisions.

5.4ApplyingVoronoiDiagramstoNY Thesimplestmethodweconsiderforgeneratingcongressionaldistricts istosimplygen-eratethediscreteVoronoidiagramfromasetofgeneratorpoints.Weachievethisbyiteratively ?gr o wing‘regions ou tward with the function f constant.That waytheregionsgrowataconstantrate,andhencetheresultingdiagramisvoronoi.A region‘sgr o wth

islimitedateachstepbyitsradiusinacertainmetric;weconsideredtheEuclidean,Manhattan,an duniformmetrics.Oncetheinitialdiagramhasbeencreated,anewsetofgenerator pointsfordenseregionsarechosenandthose regionsaresubdivided usingthesamemethod.Unrefineddecompositionscanbeseeninfig.6.

Eachmetricproducesarelativelysimpledecompositionofthestate,thoughtheMan-hattanmetrichassimplerboundariesandyieldsaslightlysmallerpopulationvariancebetweenregio ns.

5.5ApplyingVoronoiesqueDiagrams toNY ThoughoursimpleVoronoidiagramsproducedsimpleregionswithapopulationmeannearthedesir edvalue,thepopulationvariancebetweenregionsisenormous.Inthissense,thesimpleVoronoideco mpositiondo esn‘tmeetoneofthemainpartsofourredistrictinggoal.

However,theVoronoiregionsaresosimplethatweprefertoaugmentthismethodwithpopulationwe ightsratherthanabandonitentirely.

Fig.7showstheresultofthisdecomposition,alongwithexplodedviewsofthetworegionswhich weresubdividedmorethantwiceintherefinementstageofthediagramgeneration.Thepopulationc ontainedineachregionissummarizedintable1.

Table1:PopulationFractionineachLegislativeDistrict

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(a) Regionscreated usingtheManhattanmet-

ricbeforesubdivisions. AveragePopulation

=(3.5±2.2)%. (b) RegionscreatedusingtheEuclideanmet-ricbeforesubdivisions. AveragePopulation =(3.7±2.6)%.

(c) RegionscreatedusingtheUnifrommet-

ricbeforesubdivisions. AveragePopulation

=(3.7±2.6)%.

Figure6:

Voronoidiagramsgeneratedwiththreedistancemetricsbeforesubdivisionofdenselypopulatedregions.(Dotsineachregionrepresentgeneratorpointlocations.)

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(a)OverallNewYorkVoronoiesqueregions

(b)ExplodedviewofregionsaroundBuffalo. (c)ExplodedviewofregionsaroundLongIs-

land.

Figure7:DistrictscreatedbytheVoronoiesquediagramforNewYorkstate. Averagepopulationperregion=(3.34±0.74)%.(Dotsineachregionrepresentgeneratorpoint locations.)

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5.6PreciselyDefiningBoundaryLines Itisnotsatisfactorytosaytheregionscreatedbyourmodelsshoulddefinethefinalboundaryloca tions.Intheleast,boundariesshouldbetweak edsothattheydon‘tacci-dentalydividehousesintotwodistricts.However,giventhescaleatwhichtheVoronoiandVoron oiesquediagramsweredrawn,itseemsreasonabletoassumethattheirbound-ariescouldbemodifiedtotraceexistingboundaries—

likecountylines,ZIPcodes,orcitystreets—withoutchangingtheirgeneralshapeoraveragepopulation appreciably.Asan

example,theaverageareaofaZIPcodeinNewYorkstateis≈10sq.mi.androughly200 cityblockspersquaremileinManhattan,whiletheminimumsizeofoneofourVoronoiregionsis73s q.mi.andtheaveragesizeis≈2,000sq.mi..Thereforeitseemsreasonable thatwecouldapproximatetheboundaries

ofourVoronoiand/orVoronoiesquediagramsbypreexistingboundaries.

6Analysis

6.1NewYorkStateResults

We turnnowtoa discussionof howwell ourresultsfromtheprevioussectionmeetouroriginalspecificationforredistricting.Intermsof simplicityofgenerateddistricts,ourVoronoidiagrammethodisaclearwinner,particularlywhe nappliedwiththeManhattanmetric:thegeneratedregionsarecontiguous andcompactwhiletheirboundaries,beingunionsoflinesegments,areaboutthesimplestthatco uldbeexpected.However,thismethodfallsshortinachievingequalpopulationdistributionam ongtheregions,sincethevarianceintheaveragepopulationperregionisontheorderoftheavera gepopulationitself.

Asmaybeexpectedinanysortofhigh-

dimensionaloptimizationproblem,thereisanessentialtradeoffinthisproblembetweenthesimplici tyofthelegislativedistrictsandtheirrespectivepopulations.Accordingly,whenwemodifytheVoro noidiagrammethodtogeneratepopulation-

weightedVoronoiesqueregions,wecutthepopulationvarianceby

afactoroffour—from±2.8%to±0.7%—whilesufferingasmalllossinthesimplicity oftheresultingregions. Inparticular,regionsintheVoronoiesquediagramsappearto belesscompactandtheirboundariesaremorecomplicatedthantheirVoronoidiagramcounterp arts,thoughcontiguity is still maintained.

Finally,wenotedintheprevioussectionthatanyactualimplementationofadiagram generatedfromeitherofourmethodswouldhavetomakesmall,localizedmodifications toensurethedistrictboundariesmakesensefromapracticalperspective.Thoughthiswould appeartoopenthedoorforthesamesortofpolitically-biaseddistrictmanipulationsourmethodswereaimingtoavoidinthefirstplace,wethinkthesizeofth enecessarydeviations(ontheorderofmiles)issmallenoughwhencomparedtothesizeofaVoronoio rVoronoiesqueregion(ontheorderoftensorhundredsofmiles)tomaketheneteffectofthesevariatio nsinsignificant.Therefore,thoughwehaveprovidedonlyafirst-order approximationtothecongressionaldistricts,wehaveleftlittleroomforGerrymanderingtooccur.

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6.2GeneralResults WealreadyknowhowwellourresultsworkedforNewYork.Howeffectiveisourmethodingeneral? Weexaminetheresultsforanarbitrarystateincludingworstcasescenariosforeachcriteria.

PopulationEquality Thelargestproblemwiththisrequirementoccurswhenwetrytomakeregionstoosimple. Typically,ourVoronoimethodhasthemostroomforerrorhere.Ifastatehasaseriesofhighpopulatio ndensitypeakswitharelativelyuniformdecreaseinpopulationdensity extendingawayfromeachpeak,thentheregionswilldifferquiteabit.Thisisbecauseinthissituation, ratiosofpopulationsarethenroughlyequaltotheratiosofareasbetweenregions.However,ourfinal methodfocusesprimarilyonpopulationsoequalityismucheasiertoregulatehere.

Contiguity Contiguityproblemsariseoftenifthestateitselfhaslittlecompactness,likeFlorida,orifthestatehass omesortofsoundlikeWashington.Thefirsttwomethodsfocusmore onpopulationdensitywithoutreallyacknowledgingtheb oundariesofthestateitself.Soit‘s possible foroneregiontobeseparatedbysomegeographicobstructionlikeabodyofwateroramountainrange .Againthefinalmethodfixesthisbygrowinginincrements,thisallowsforstateboundariestobedefin ed.Thenregionsw ouldn‘tgr owoverbutaroundspecifiedobstacles.

Compactness

Unfortunately,thefinal methoddo esn‘tdo e verything,it istheleastlikelycandidateforgeneratingcompactregions.Thefirsttwoaremostsuccessfulinth isarea.Thefirstmethodcreatesallconv exregions.Thoughthesecondcan‘tguara nteeconvexity ,itsformissimilarinshapeandsizetothefirst.Furthermore,onenicepropertyofthegeneratedre gionsfromthefirstmethodisthatthereisawaytomakeslightadjustmentstothe boundarieswhilestillmaintainingconvexity(see §7.1)Thisisgoodfortakingpopulation shiftsacrossdistrictsintoaccountbetweenredistrictingperiods.

7ImprovingtheMethod

Nowthattheproblemareashavebeendefined,weoffersomewaystoreducetheeffectoftheseproble ms.

7.1Boundary Refinement

ConsidertheVoronoidiagrammethod.Weknowthisapproachisgoodatgeneratingpolygonaldistri ctsbutnotassuccessfulatmaintainingpopulationequality.Onesuchmethodthathelpsisvertexrepo sitioning.Noticethatadjacentdistrictsgeneratedbythismethodallshareavertexcommontoatleastt hreeboundaries.Fromthisvertexextends

Team1034Page19of21

Figure8:IllustrationofVoronoidiagramgenerationwhichtakesgeographicobstaclesintoaccount. afinitenumberoflinesegmentsthatpartiallydefinetheboundariesofthese

adjacentregions.Connectingtheendpointsofthesesegmentsyieldsapolygon.Nowwearefreetomo vethecommonvertexanywhereintheinteriorofthispolygonwhilestillmaintainingconvexity.With thiswecanredrawboundaries betweenregions thataresignificantlydifferentinpopulationsizeandindoingsohelpequalizeeachoftheregions. TherearealsowaystoadjustpopulationinequalityintheVoronoiesquemethod.Lookingatther egionwiththelowestpopulation,systematicallyincreasetheareaofthelow-populationregionswhiledecreasingtheareaoftheneighboringhigh-populationregions.

7.2GeographicObstacles

Ourmethoddo esn‘timpleme ntgeographicareassuchasrivers,mountains,canyons,andotherprom inentfeatures.TheVoronoiesquemethod,however,hasthepotentialtoim- plimentthesefeatures.Thesamealgoriththatdetectsintersectionsbetweenvornoiesqueregionscan detectadefinedgeographicboundaryandstopgrowinginthatdirection.Anillustrationofthisideais showninfig.8.Thesegeographicobstacleswouldbechosenby theredistrictingcommittee.

8BulletintotheVotersoftheStateofNewYork READONFORIMPORTANTINFORMATIONREGARDINGYOURREP-RESENTATIVE GOVERNMENT

Authoritieswithiny ourstate‘sg overnmentrecentlyrealizedthatduringreapportionment—theprocessbywhichy ourstate‘s numberofcongressionalrepresentativeschanges—theincumbentpolitical

leaderstendto Gerrymander theboundariesofcongressionaldistricts,redrawingthemtoinfluencef utureelectionsintheirfavor.Asthiscanundermineequalrepresentationforallcitizens,theStateofN ewYorkcommissionedaninterdisciplinaryteamofmathematiciansandengineerstocreateanobjec tiveprocedureforredistrictingthatcanbeappliedinthefuturetopreventpartisaninfluenceovercong ressionaldistrictboundaries.

Team1034Page20of21 Theteamcame to theconclusion thattobefairto all,congressional districts should:

?beconnected,

?containequalpopulations,

?beascompactaspossible, and

?notunnecessarilysubdividelargecities.

Accordingly,theycreatedasimplemethodforgeneratingdistrictsthatmeetthesecriteria.

Themethodisbasedonageometricalstructureknownasa Voronoidiagram,which describesapartitionofyourstateintocompact,connectedregionsgeneratedfromasetofinitialp oints;seefigure1foranexample.Sincetheregionsaresupposedtoenvelopequalpopulations,th einitial

pointswerechosenatmajorpopulationcenters(likeNewYorkCity,Buffalo,Rochester,andAlb any,amongothers).Theregionsarethen?gr o wn‘outfromthese populationcentersas

infigure2untiltheentire stateiscovered.

Toensurethedistrictsendupwithroughlyequalp opulations,aregions‘gr owthislimitedbyt hepopulationcontainedwithinit.Thisresultsinafinaldiagramwhichhasconnected,compactr egionswithsmallpopulationvariation.Inotherwords,diagramsgeneratedwiththismethodful filltheguidelinesforcreatingfairlegislativedistricts.

Thenewdistrictdiagramisillustratedinfigure7.Thisdiagramiscomposedof29distinctcon gressionaldistricts,eachofwhichcontainscloseto3.4%ofthetotalstatepopulation.Butmorei mportantthantheprecisepopulationcontainedineachregionisthefactthatthedistrictsweregen eratedobjectivelybyacomputerizedmethod,so partisanpoliticsplayno rolein the result.Thisensuresthatthe

nexttimeboundarylinesaredrawn,theywillpro videanimpartialpartitionofourstate‘s populat ion,withnoroom forGerrymandering.

9Conclusion Therearemanymethodsinexistencefordrawingdistrictboundaries.Mostofthesemod-elsaresuccessfulinwhatissetsouttodo.However,manyofthemdependoncurrentstatedivisionsasa startingpointsforcreatingdistricts.Ourmodeldiffersinthatw eonlyrequiretheuseofastate‘s popul ationdistributionandasanoptioncanincorporatecounty,property,andgeographicconsiderations.

OurVoronoiesquemodelsatisfiesourproposedgoal.Wesupplyamodelforare-districtingcommitteetogeneratedistrictboundariesthataresimple,contiguous,andproducedi strictswithequalpopulations.Inparticular,wefoundthatVoronoiesquedia-gramsredistrictNewYorkveryw ell.What‘sparticularlyattracti veaboutallthemethodsisthatg eneratingthedistrictsisintuitiveandaccessibletothegeneralpublicandalsothecomputergener ationprocesstakeslessthan10secondstocomplete.

References

[1]U.S.CensusBureau.2005firsteditiontiger/linedata,Feb.2007.

数学建模国家一等奖优秀论文

２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:

２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：

美国数学建模大赛比赛规则

数学中国MCM/ICM参赛指南翻译（2014版） MCM:The Mathematical Contest in Modeling MCM：数学建模竞赛 ICM:The InterdisciplinaryContest in Modeling ICM：交叉学科建模竞赛ContestRules, Registration and Instructions 比赛规则，比赛注册方式和参赛指南 (All rules and instructions apply to both ICM and MCMcontests, except where otherwisenoted.)（所有MCM的说明和规则除特别说明以外都适用于 ICM） 每个MCM的参赛队需有一名所在单位的指导教师负责。 指导老师：请认真阅读这些说明，确保完成了所有相关的步骤。每位指导教师的责任包括确保每个参赛队正确注册并正确完成参加MCM/ ICM所要求的相关步骤。请在比赛前做一份《参赛指南》的拷贝，以便在竞赛时和结束后作为参考。 组委会很高兴宣布一个新的补充赛事（针对MCM/ICM 比赛的视频录制比赛）。点击这里阅读详情！ 1.竞赛前

A．注册 B．选好参赛队成员 2.竞赛开始之后 A．通过竞赛的网址查看题目 B．选题 C．参赛队准备解决方案 D．打印摘要和控制页面 3.竞赛结束之前 A.发送电子版论文。 4.竞赛结束的时候, A. 准备论文邮包 B．邮寄论文 5.竞赛结束之后 A. 确认论文收到 B．核实竞赛结果 C．发证书 D．颁奖 I. BEFORE THE CONTEST BEGINS:（竞赛前）A.注册 所有的参赛队必须在美国东部时间2014年2月6号（星期四）下午2点前完成注册。届时，注册系统将会自动关闭，不再接受新的注册。任何未在规定时间

2013全国数学建模大赛a题优秀论文

车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下： 针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度

2009年数学建模优秀论文[1]

眼科病床的合理安排 摘要 医院病床的合理安排是病人和医院共同关注的问题。本文对医院病床的分配进行分析，使用层次分析法找出模型的判定因素，通过对医院已制定的模型的判断，找出了原模型的优劣，并使用线性规划制定出合理的模型，通过模型的结果推断出第三问的答案，若该住院部周六、周日不安排手术，则改变模型的约束条件，使其判断之后的手术时间是否要做出相应的调整。考虑到便于医院进行管理，提出运用排队论的方法求解出病床比例分配模型。 关键词：层次分析法线性规划排队论 一、问题重述 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。 我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。 该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急

美国大学生数学建模竞赛组队和比赛流程

数学模型的组队非常重要，三个人的团队一定要有分工明确而且互有合作，三个人都有其各自的特长，这样在某方面的问题的处理上才会保持高效率。 三个人的分工可以分为这几个方面： 数学员：学习过很多数模相关的方法、知识，无论是对实际问题还是数学理论都有着比较敏感的思维能力，知道一个问题该怎样一步步经过化简而变为数学问题，而在数学上又有哪些相关的方法能够求解，他可以不能熟练地编程，但是要精通算法，能够一定程度上帮助程序员想算法，总之，数学员要做到的是能够把一个问题清晰地用数学关系定义，然后给出求解的方向； 程序员：负责实现数学员的想法，因为作为数学员，要完成大部分的模型建立工作，因此调试程序这类工作就必须交给程序员来分担了，一些程序细节程序员必须非常明白，需要出图，出数据的地方必须能够非常迅速地给出；ACM的参赛选手是个不错的选择，他们的程序调试能力能够节约大量的时间，提高在有限时间内工作的工作效率； 写手：在全文的写作中，数学员负责搭建模型的框架结构，程序员负责计算结果并与数学员讨论，进而形成模型部分的全部内容，而写手要做的。就是在此基础之上，将所有的图表，文字以一定的结构形式予以表达，注意写手时刻要从评委，也就是论文阅读者的角度考虑问题，在全文中形成一个完整地逻辑框架。同时要做好排版的工作，最终能够把数学员建立的模型和程序员算出的结果以最清晰的方式体现在论文中。一个好的写手能够清晰地分辨出模型中重要和次要的部分，这样对成文是有非常大的意义的。因为论文是评委能够唯一看到的成果，所以写手的水平直接决定了获奖的高低，重要性也不言而喻了。 三个人至少都能够擅长一方面的工作，同时相互之间也有交叉，这样，不至于在任何一个环节卡壳而没有人能够解决。因为每一项工作的工作量都比较庞大，因此，在准备的过程中就应该按照这个分工去准备而不要想着通吃。这样才真正达到了团队协作的效果。 比赛流程：对于比赛流程，在三天的国赛里，我们应该用这样一种安排方式：第一天：定题+资

2013年全国研究生数学建模竞赛A题

2013年（第十届）全国研究生数学建模竞赛A题 变循环发动机部件法建模及优化 由飞机/发动机设计原理可知，对于持续高马赫数飞行任务，需要高单位推力的涡喷循环，反之，如果任务强调低马赫数和长航程，就需要低耗油率的涡扇循环。双涵道变循环发动机可以同时具备高速时的大推力与低速时的低油耗。变循环发动机的内在性能优势，受到了各航空强国的重视，是目前航空发动机的重要研究方向。 1 变循环发动机的构`造及基本原理 1.1 基本构造 双涵道变循环发动机的基本构造见图1、图2，其主要部件有：进气道、风扇、副外涵道、CDFS涵道、核心驱动风扇级（CDFS）、主外涵道、前混合器、高压压气机、主燃烧室、高压涡轮、低压涡轮、后混合器、加力燃烧室、尾喷管。双涵道模式下，选择活门和后混合器（后VABI）全部打开；单涵道模式下，选择活 前混合器主外涵道主燃烧室加力燃烧室

图2 双涵道变循环发动机结构示意图 图中数字序号表示发动机各截面参数的下脚标 各部件之间的联系如图3所示，变循环发动机为双转子发动机，风扇与低压涡轮相连，CDFS、高压压气机与高压涡轮相连，如图3下方褐色的线所示。蓝色的线表示有部件之间的气体流动连接（图3中高压压气机后不经主燃烧室的分流气流为冷却气流，在本题中忽略不计）。 图3 变循环发动机工作原理图 1.2工作原理 变循环发动机有两种工作模式，分别为涡喷模式和涡扇模式。 发动机在亚音速巡航的低功率工作状态，风扇后的模式转换活门因为副外涵与风扇后的压差打开，使更多空气进入副外涵，同时前混合器面积开大，打开后混合器，增大涵道比，降低油耗，此时为发动机的涡扇模式。 发动机在超音速巡航、加速、爬升状态时，前混合器面积关小，副外涵压力增大，选择活门关闭，迫使绝大部分气体进入核心机，产生高的推力，此时为发

3分钟完整了解·HiMCM美国高中生数学建模竞赛

眼看一年一度的美国高中生数学建模竞赛就要到来了，聪明机智的你准备好了吗？ 今年和码趣学院一起去参加吧！ 什么是HiMCM HiMCM(High School Mathematical Contest in Modeling)美国高中生数学建模竞赛，是美国数学及其应用联合会（COMAP）主办的活动，面向全球高中生开放。 竞赛始于1999年，大赛组委将现实生活中的各种问题作为赛题，通过比赛来考验学生的综合素质。

HiMCM不仅需要选手具备编程技巧，更强调数学，逻辑思维和论文写作能力。这项竞赛是借鉴了美国大学生数学建模竞赛的模式，结合中学生的特点进行设计的。 为什么要参加HiMCM 数学逻辑思维是众多学科的基础，在申请高中或大学专业的时候（如数学，经济学，计算机等），参加了优质的数学竞赛的经历都会大大提升申请者的学术背景。除了AMC这种书面数学竞赛，在某种程度上数学建模更能体现学生用数学知识解决各种问题的能力。

比赛形式 注意：HiMCM比赛可远程参加，无规定的比赛地点，无需提交纸质版论文。重要的是参赛者应注重解决方案的设计性，表述的清晰性。 1.参赛队伍在指定17天中，选择连续的36小时参加比赛。 2.比赛开始后，指导教师可登陆相应的网址查看赛题，从A题或B题中任选其一。 3.在选定的36小时之内，可以使用书本、计算机和网络，但不能和团队以外的任何人 员交流（包括本队指导老师） 比赛题目 1.比赛题目来自现实生活中的两个真实的问题，参赛队伍从两个选题中任选一个。比赛 题目为开放性的，没有唯一的解决方案。 2.赛事组委会的评审感兴趣的是参赛队伍解决问题的方法，所以不太完整的解决方案也 能提交。 3.参赛队伍必须将问题的解决方案整理成31页内的学术论文（包括一页摘要），学术 论文中可以用图表，数据等形式，支撑问题的解决方案 4.赛后，参赛队伍向COMPA递交学术论文，最终成果以英文报告的方式，通过电子 邮件上传。 表彰及奖励 参赛队伍的解决方案由COMPA组织专家评阅，最后评出： 特等奖（National Outstanding) 特等奖提名奖（National Finalist or Finalist） 一等奖（Meritorious)

数学建模论文示例精选版

数学建模论文示例 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

“空瓶换汽水”问题探讨 摘要：“空瓶换汽水”问题是一个比较经典的趣味数学问题，曾以“空瓶换啤酒”“废电池换新电池”“费电珠换新电珠”等形式出现在前苏联、德国和中国各种数学竞赛题目中。这个问题的探讨与解决，对于我们在日常生活中如何使开支与效益达到最优化等问题，具有一定的指导意义。 关键词：瓶数空瓶不含瓶单价推论 日常生活中，我们经常遇到过空瓶换汽水问题。喝完了凉爽的汽水还能用空瓶换汽水继续喝，那简直是炎炎夏日里的一种享受。如果没有经历过，那么以下这几道数学题你应该似曾相识。 【问题一】 某品牌汽水可以用3个空瓶再换回1瓶汽水，某人买回10瓶汽水，则他最多可以喝到多少瓶汽水 【解析一】 “用3个空瓶再换回1瓶汽水”，假设汽水一瓶3元，则空瓶相应的1元，而真正的汽水就只值2元，“某人买回10瓶汽水”意味着花去人民币 3*10=30元， 故而“最多可以喝到?30/2=15瓶。 【问题二】 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？ 【解析二】 同理“5个空瓶可以换1瓶汽水”由题意，假设1瓶汽水5元，空瓶则1元，真正的汽水只值4元，“某班同学喝了161瓶汽水”则一共真正汽水的钱是：161*4元； 而买整个汽水（真正的汽水加空瓶）需要5元，所以“他们至少要买汽水多少瓶”则等于( 161*4)/5=(161/5)*4=(32*4)...余1，此时就可算出32*4+1=129瓶。 笔者对类似的题目的思考与研究，得到以下推论： 1，汽水的瓶数=总共的钱/汽水（不含瓶）的钱； 2，至少要买汽水多少瓶=总花去的钱/汽水的单价+余数。 这些推论是否正确呢是否可以解决此类问题呢我们不妨拿类似的问题验证一下。 【问题三】 超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水A.4瓶B.5瓶C.6瓶D.7瓶 【解答三】 由题意可知，空汽水瓶的价钱是1元，汽水加瓶是3元，所以“小李有12个空汽水瓶”等于小李有12元钱，问题是“最多可以换几瓶汽水”，就是小李

美国数学建模比赛题目及翻译

PROBLEM A: The Ultimate Brownie Pan When baking in a rectangular pan heat is concentrated in the 4 corners and the product gets overcooked at the corners (and to a lesser extent at the edges). In a round pan the heat is distributed evenly over the entire outer edge and the product is not overcooked at the edges. However, since most ovens are rectangular in shape using round pans is not efficient with respect to using the space in an oven. Develop a model to show the distribution of heat across the outer edge of a pan for pans of different shapes - rectangular to circular and other shapes in between. Assume 1. A width to length ratio of W/L for the oven which is rectangular in shape. 2. Each pan must have an area of A. 3. Initially two racks in the oven, evenly spaced. Develop a model that can be used to select the best type of pan (shape) under the following conditions: 1. Maximize number of pans that can fit in the oven (N)

美国数学建模竞赛要求

2.竞赛开始之后 A．通过竞赛的网址查看题目 B．选题 C．参赛队准备解决方案 D．打印摘要和控制页面 3.竞赛结束之前 A.发送电子版论文。 4.竞赛结束的时候, A. 准备论文邮包 B．邮寄论文 5.竞赛结束之后 A. 确认论文收到 B．核实竞赛结果 C．发证书 D．颁奖 1．您必须在在美国东部时间2014年2月6日（星期四）晚上8点大赛开始以前选择好您的参赛队的队员。一旦比赛开始，您将不能增加或是改变任何一个参赛队队员（但是如果参赛队员本人决定不参加比赛，您可以把他/她从队员名单中删除）。 2．每个参赛队最多都只能由3名学生组成。 3．一个学生最多只能参加一个参赛队。 4．在比赛时间段内，参赛队成员必须是在校学生，但可以不是全日制学生。参赛队成员和指导教师必须来自同一所学校。 2.竞赛开始之后 A.通过网站的得到赛题 ! 美国东部时间2014年2月6日（星期四）晚上8点竞赛开始时，可以通过竞赛网站得到题目。 1.赛题会于美国东部时间2014年2月6日（星期四）晚上8点公布：所有的参赛队员可以通过访问https://www.sodocs.net/doc/1e9450743.html,/undergraduate/contests/mcm.得到赛题。无须任何密码，仅通过网页链接就可以得到赛题。 2、美国东部时间2014年2月6日晚7点50分，比赛题目也会同步发布于一下镜像网站：

https://www.sodocs.net/doc/1e9450743.html,/mcm/index.html https://www.sodocs.net/doc/1e9450743.html,/mcm/index.html https://www.sodocs.net/doc/1e9450743.html,/mcm/index.html https://www.sodocs.net/doc/1e9450743.html,/mcm/index.html B．选题 每个参赛队可以从三个题目中任选一个题目作答： MCM的参赛队可以选择赛题 A 或 B； MCM的参赛队只要提交两个问题之一的解决方案就可以。MCM参赛队不得选择赛题C。 ICM的参赛队可以选择赛题C。ICM参赛队除了赛题C别无其它选择，不能选择赛题A或者B。C．参赛队准备解决方案： 1. 参赛队可以利用任何非生命提供的数据和资料——包括计算机，软件，参考书目，网站，书籍等，但是所有引用的资料必须注明出处，如有参赛队未注明引用的内容的出处，将被取消参赛资格。 3.部分解决方案是可接受的。大赛不存在通过或是不通过的分数分界点，也不会有一个数字形式的分数。MCM /ICM的评判主要是依据参赛队的解决方法和步骤。 4.摘要 摘要是 MCM 参赛论文的一个非常重要的部分。在评卷过程中，摘要占据了相当大的比重，以至于有的时候获奖论文之所以能在众多论文中脱颖而出是因为其高质量的摘要。 好的摘要可以使读者通过摘要就能判断自己是否要通读论文的正文部分。如此一来，摘要就必须清楚的描述解决问题的方法，显著的表达论文中最重要的结论。摘要应该能够激发出读者阅读论文详细内容的兴趣。那些简单重复比赛题目和复制粘贴引言中的样板文件的摘要一般将被认为是没有竞争力的。 Besides the summary sheet as described each paper shouldcontain the following sections: 除了摘要页以外每篇论文还需要包括以下的一些部分： l Restatement and clarification of theproblem: State in your own words what youare going to do. 再次重述或者概括问题——用你自己的话重述你将要解决的问题。

2013年全国大学生数学建模竞赛A题

车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 在城市道路常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。 针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。 针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。 针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。 针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。 关键词：通行能力 统计估算 层次分析 非线性回归方程 SPSS 软件 排队论 车流波动 一、问题重述

全国大学生数学建模竞赛论文模板

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填 写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的 话）： 所属学校（请填写完整的全 名）： 参赛队员 (打印并签名) ： 1. 2.

3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。

摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。 一、问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！

如何准备美国大学生数学建模比赛

如何准备美赛 数学模型：数学模型的功能大致有三种：评价、优化、预测。几乎所有模型都是围绕这三种功能来做的。比如，2012年美赛A题树叶分类属于评价模型，B题漂流露营安排则属于优化模型。 对于不同功能的模型有不同的方法，例如 评价模型方法有层次分析、模糊综合评价、熵值法等； 优化模型方法有启发式算法（模拟退火、遗传算法等）、仿真方法（蒙特卡洛、元胞自动机等）； 预测模型方法有灰色预测、神经网络、马尔科夫链等。 在数学中国、数学建模网站上有许多关于这些方法的相关介绍与文献。 软件与书籍： 软件一般三款足够：Matlab、SPSS、Lingo，学好一个即可。 书籍方面，推荐三本，一本入门，一本进级，一本参考，这三本足够： 《数学模型》姜启源谢金星叶俊高等教育出版社 《数学建模方法与分析》Mark M. Meerschaert 机械工业出版社 《数学建模算法与程序》司守奎国防工业出版社 入门的《数学模型》看一遍即可，对数学模型有一个初步的认识与把握，国赛前看完这本再练习几篇文章就差不多了。另外，关于入门，韩中庚的《数学建模方法及其应用》也是不错的，两本书选一本阅读即可。如果参加美赛的话，进级的《数学建模方法与分析》要仔细研究，这本书写的非常好，可以算是所有数模书籍中最好的了，没有之一，建议大家去买一本。这本书中开篇指出的最优化模型五步方法非常不错，后面的方法介绍的动态模型与概率模型也非常到位。参考书目《数学建模算法与程序》详细的介绍了多种建模方法，适合用来理解模型思想，参考自学。 分工合作：数模团队三个人，一般是分别负责建模、编程、写作。当然编程的可以建模，建模的也可以写作。这个要视具体情况来定，但这三样必须要有人擅长，这样才能保证团队最大发挥出潜能。 这三个人中负责建模的人是核心，要起主导作用，因为建模的人决定了整篇论文的思路与结构，尤其是模型的选择直接关系到了论文的结果与质量。 对于建模的人，首先要去大量的阅读文献，要见识尽可能多的模型，这样拿到一道题就能迅速反应到是哪一方面的模型，确定题目的整体思路。 其次是接口的制作，这是体现建模人水平的地方。所谓接口的制作就是把死的方法应用到具体问题上的过程，即用怎样的表达完成程序设计来实现模型。比如说遗传算法的方法步骤大家都知道，但是应用到具体问题上，编码、交换、变异等等怎么去做就是接口的制作。往往对于一道题目大家都能想到某种方法，可就是做不出来，这其实是因为接口不对导致的。做接口的技巧只能从不断地实践中习得，所以说建模的人任重道远。 另外，在平时训练时，团队讨论可以激烈一些，甚至可以吵架，但比赛时，一定要保持心平气和，不必激烈争论，大家各让3分，用最平和的方法讨论问题，往往能取得效果并且不耽误时间。经常有队伍在比赛期间发生不愉快，导致最后的失败，这是不应该发生的，毕竟大家为了一个共同的目标而奋斗，这种经历是很难得的。所以一定要协调好队员们之间的关系，这样才能保证正常发挥，顺利进行比赛。 美赛特点：一般人都认为美赛比国赛要难，这种难在思维上，美赛题目往往很新颖，一时间想不出用什么模型来解。这些题目发散性很强，需要查找大量文献来确定题目的真正意图，美赛更为注重思想，对结果的要求却不是很严格，如果你能做出一个很优秀的模型，也许结果并不理想也可能获得高奖。另外，美赛还难在它的实现，很多东西想到了，但实现起来非常困难，这需要较高的编程水平。 除了以上的差异，在实践过程中，美赛和国赛最大的区别有两点： 第一点区别当然是美赛要用英文写作，而且要阅读很多英文文献。对于文献阅读，可以安装有道词典，

2003年数学建模A题

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题 SARS的传播 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 附件1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年5月8日 在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。 1 模型与参数 假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K

数学建模论文范文[1]

利用数学建模解数学应用题 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点： 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的发展空间和潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次： 第一层次：直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为： 将题材设条件翻译 成数学表示形式 应用题审题题设条件代入数学模型求解 选定可直接运用的 数学模型 第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。 第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。

美国大学生数学建模竞赛赛题翻译

2015年美国大学生数学建模竞赛赛题翻译 2015年美国大学生数学竞赛正在进行，比赛时间为北京时间：20１5年2月６日(星期五)上午9点—２月10日上午9点.竞赛以三人(本科生）为一组，在四天时间内,就指定的问题，完成该实际问题的数学建模的全过程,并就问题的重述、简化和假设及其合理性的论述、数学模型的建立和求解(及软件)、检验和改进、模型的优缺点及其可能的应用范围的自我评述等内容写出论文。 2０15 ＭＣM/ICM Ｐｒｏblems 总计4题，参赛者可从MＣM Pｒoｂlｅm A, MＣM Problem B，ICM Pｒoblem C oｒICM Ｐｒｏbｌem D等四道赛题中自由选择。 201５Contest Proｂｌems MCM ＰROBLEMS PROBLEM A: Erａdiｃating Ebｏla The wｏrｌｄmedical assoｃiatiｏn has ａnnounced that ｔheｉｒneｗmｅdiｃatioｎcouｌd stop Ｅbola anｄcｕｒｅｐａtｉents ｗhose dｉsease ｉs not aｄｖanced. Ｂuild a realistｉc, sensｉblｅ, ａnｄusefｕｌmodel thaｔｃｏnsiders not onlｙｔhｅsｐｒead of the dｉsease，ｔｈｅqｕaｎtｉｔy of ｔhｅmedｉcine needed，ｐｏｓsｉble ｆeasible delivｅｒy sysｔemｓ（seｎdiｎg ｔhe meｄiｃine to where iｔis neｅdｅｄ), （gｅｏgrａphiｃal）loｃatioｎs of ｄelｉvery，ｓｐeed of mａｎufacturing of tｈe ｖa ｃcine ｏｒｄruｇ, but also ａｎy oｔheｒcriticａl factors your ｔeam cｏnｓidｅrs ｎecessaｒｙas ｐarｔｏf thｅｍodel to ｏpｔimize thｅerａdicaｔioｎoｆEｂola，oｒａt lｅａｓt ｉts current sｔrain. Iｎadd ｉtion ｔo your ｍodｅling apprｏach fｏr thｅcontest, prepare ａ１—2 page ｎon-teｃｈnical ｌettｅr for ｔhe wｏrld ｍｅｄicaｌａｓsocｉation ｔｏuse ｉｎtheir announｃｅmｅｎt． 中文翻译： 问题一：根除埃博拉病毒 世界医学协会已经宣布他们的新药物能阻止埃博拉病毒并且可以治愈一些处于非晚期疾病患者。建立一个现实的,合理的并且有用的模型，该模型不仅考虑了疾病的蔓延,需要药物的量,可能可行的输送系统,输送的位置,疫苗或药物的生产速度，而且也要考虑其他重要的因素，诸如你的团队认为有必要作为模型的一部分来进行优化而使埃博拉病毒根除的一些因素，或者至少考虑当前的状态。除了你的用于比赛的建模方法外，为世界医学协会准备一份１-２页的非技术性的信,方便其在公告中使用。 PＲＯBLEＭB: Sｅａrchinｇfoｒａloｓt pｌａne Recａll the loｓｔMalａysian flight MH370．Build ａgeneriｃmaｔheｍatｉcaｌmｏｄel ｔｈat coｕld assist "seａrｃhers" ｉn plaｎninｇa useful seａrch ｆｏｒ a loｓt plaｎｅfeａred to hａｖe cｒａshed in ｏpｅn ｗatｅr sucｈas the Ａｔlantic, Paｃific，Iｎdian, Sｏuthｅrｎ，or Arcｔic Oceａn ｗｈil ｅｆlyinｇfrom PoinｔA to Poiｎt B. Ａｓsume thａt there are no sigｎals ｆroｍthe ｄowｎｅd pｌane。Your moｄel should recogｎiｚe thaｔｔherｅarｅmaｎy dｉfｆerｅnt ｔyｐes ｏf plaｎｅs ｆoｒｗ

数学建模优秀论文范文

数学建模优秀论文范文 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点: 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须

依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的 发展空间和潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次: 第一层次:直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为: 将题材设条件翻译 成数学表示形式 应用题审题题设条件代入数学模型求解 选定可直接运用的 数学模型 第二层次:直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对 应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需 进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次:多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干 个数学模型方能解决问题。 第四层次:假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模 型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力 从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过 程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解 题质量，同时也体现一个学生的综合能力。 3(1提高分析、理解、阅读能力。

2013年数学建模A题概念解释--通行能力

实际通行能力 由于道路、交通和管制条件以及服务水平不同，通行能力分为：基本（理论）通行能力，可能（实际）通行能力和设计（规划）通行能力。 理论通行能力是理想的道路与交通条件下的通行能力。 以理论通行能力为基础，考虑到实际的地形、道路和交通状况，确定其修正系数，再以此修正系数乘以前述的理论通行能力，即得实际道路、交通在一定环境条件下的可能通行能力。 公式（参《路网环境下高速公路交通事故影响传播分析与控制》）： 单向车行道的可能通行能力Qx=CB*N*fw*fHV*fp Qx是单向车行道可能通行能力，即在具体条件下，采用四级服务水平时所能通过的最大交通量veh/h。 CB是基本（理论）通行能力。 N是单向车行道的车道数。 fw是车道宽度和侧向净宽对通行能力的修正系数。 fHV是大型车对通行能力的修正系数，计算公式是：fHV=1/[1+ PHV（EHV-1）]，EHV 是大型车换算成小客车的车辆换算系数；PHV是大型车交通量占总交通量的百分比。 fp驾驶员条件对通行能力的修正系数，一般在0.9~1之间 基本通行能力 基本通行能力【basic traffic capacity】指的是在理想的道路和交通条件下，单位时间一个车道或一条道路某一路段通过小客车最大数，是计算各种通行能力的基础。 通行能力 通行能力【traffic capacity】指的是在一定的道路和交通条件下，道路上某一路段单位时间内通过某一断面的最大车辆数。可分为基本通行能力、可能通行能力和设计通行能力三种。

计算公式为：CAP=s1*λ1+s2*λ2+....+sn*λn（s为饱和流量，λ为绿信比） 全红时间越长，通行能力越小 周期时长一定的情况下，相位数越多，通行能力越大 它是指道路上某一地点、某一车道或某断面处，单位时间内可能通过的最大的交通实体(车辆或行人)数，亦称道路容量、交通容量或简称容量。一般以辆/h、人/h表示。车辆多指小汽车，当有其它车辆混入时，均采用等效通行能力的当量小客车单位 道路通行能力与交通量不尽相同，交通量是指道路在某一定时段内实际通过的车辆数。一般道路的交通量均小于道路的通行能力，当道路上的交通量比其通行能力小得多时，则司机驾车行进时操作的自由度就越大，既可以随意变更车速，转移车道，还可以方便地实现超车。当交通量等于或接近于道路通行能力时，车辆行驶的自由度就逐渐降低，一般只能以同一速度循序行进，如稍有意外，就会发生降速、拥挤，甚至阻滞。当交通量超过通行能力时，车辆就会出现拥挤，甚至堵塞。因此，道路通行能力同河流的过水能力一样，是道路在一定条件下所能通过的车辆的极限数值，条件不同，要求不同，其通行能力也就不同。故通行能力是一个变数