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高数复习重点1

第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

2.分段函数:

???∈∈=21)()(D x x g D x x f y

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1

(y)

y=f -1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数:

y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),

则称f(x)在D 内单调增加( );

若f(x 1)≥f(x 2),

则称f(x)在D 内单调减少( );

若f(x 1)<f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( );

若f(x 1)>f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性:

周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数

4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b)

㈢ 基本初等函数

1.常数函数: y=c , (c 为常数)

2.幂函数: y=x n

, (n 为实数)

3.指数函数: y=a x

, (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x

6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x

y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数

1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)

y=f[φ(x)] , x ∈X

2.初等函数:

由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数

§1.2 极 限

一、 主要内容 ㈠极限的概念

1. 数列的极限:

A

y n n =∞

→lim

称数列

{}n y 以常数A 为极限;

或称数列{}

n y 收敛于A.

定理: 若{}

n y 的极限存在

?{}n y 必定有界.

2.函数的极限:

⑴当

∞→x 时,)(x f 的极限:

A

x f A x f A x f x x x =????

?==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim

⑵当

0x x →时,)(x f 的极限:

A x f x x =→)(lim 0

左极限:

A x f x x =-

→)(lim 0

右极限:A x f x x =+→)(lim 0

⑶函数极限存的充要条件:

定理:

A

x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0

㈡无穷大量和无穷小量

1. 无穷大量:

+∞

=)(lim x f

称在该变化过程中

)(x f 为无穷大量。

X 再某个变化过程是指:

,,,∞→+∞→-∞→x x x 00

0,,x x x x x x →→→+-

2.

无穷小量:

)(lim =x f

称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。

3.

无穷大量与无穷小量的关系:

定理:)0)((,)

(1

lim 0)(lim ≠+∞=?=x f x f x f 4.

无穷小量的比较:

0lim ,0lim ==βα

⑴若0lim =α

β,则称β是比α较高阶的无穷小量;

⑵若c =α

βlim (c 为常数),则称β与α同阶的无穷小量;

⑶若

1lim =α

β,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;

⑷若∞=α

βlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。

定理:若:

,2211~~βαβα

则:

2

12

1lim

lim

ββαα=

㈢两面夹定理 1. 数列极限存在的判定准则:

设:

n

n n z x y ≤≤ (n=1、2、3…)

且: a z y n n n n ==∞

→∞

→lim lim

则: a x n n =∞

→lim

2. 函数极限存在的判定准则: 设:对于点x 0的某个邻域内的一切点 (点x 0除外)有:

)

()()(x h x f x g ≤≤

且:

A

x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0

则:

A

x f x x =→)(lim 0

㈣极限的运算规则

若:

B x v A x u ==)(lim ,)(lim

则:①

B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[

B A x v x u x v x u ?=?=?)(lim )(lim )]()(lim[

③B

A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((l i m ≠x v 推论:①

)]()()(lim[21x u x u x u n ±±±

)(lim )(lim )(lim 21x u x u x u n ±±±=

)(lim )](lim[x u c x u c ?=?

③n

n x u x u )]

([lim )](lim[=

㈤两个重要极限

1.1

sin lim 0=→x

x x 或 1)()

(sin lim 0)(=→x x x ??? 2.e x

x

x =+∞→)11(lim e x x

x =+→10)1(l i m

§1.3 连续

一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性

1. 函数在

0x 处连续:)(x f 在0x 的邻域内有定义,

1

o

0)]()([lim lim 000

=-?+=?→?→?x f x x f y x x

2

o

)()(lim 00

x f x f x x =→

左连续:

)()(lim 00

x f x f x x =-

右连续:)()(lim 00

x f x f x x =+→

2. 函数在

0x 处连续的必要条件:

定理:)(x f 在0x 处连续?)(x f 在0x 处极限存在

3. 函数在

0x 处连续的充要条件:

定理:

)()(lim )(lim )()(lim 000

x f x f x f x f x f x x x x x x ==?=+

-→→→

4. 函数在[]

b a ,上连续:

)(x f 在

[]

b a ,上每一点都连续。

在端点

a 和

b 连续是指:

)()(lim a f x f a

x =+

→ 左端点右连续;

)()(l i m b f x f b

x =-→ 右端点左连续。

a

0 b x 5. 函数的间断点:

)(x f 在0x 处不连续,则0x 为)(x f 的间断点。

间断点有三种情况:

1o

)(x f

0x 处无定义;

2

o

)

(lim 0

x f x x →不存在;

3o

)(x f

0x 处有定义,且)

(lim 0

x f x x →存在,

)

()(lim 00

x f x f x x ≠→。

两类间断点的判断: 1o 第一类间断点:

特点:

)(lim 0

x f x x -→和

)(lim 0

x f x x +

→都存在。

可去间断点:

)

(lim 0

x f x x →存在,但

)

()(lim 00

x f x f x x ≠→,或)(x f

0x 处无定义。

2o 第二类间断点:

特点:

)(lim 0

x f x x -→和

)(lim 0

x f x x +

→至少有一个为∞,

)

(lim 0

x f x x →振荡不存在。

无穷间断点:

)(lim 0

x f x x -→和

)(lim 0

x f x x +

→至少有一个为∞

㈡函数在0x 处连续的性质

1.

连续函数的四则运算:

)()(lim 00

x f x f x x =→,

)

()(lim 00

x g x g x x =→

1o

)

()()]()([lim 000

x g x f x g x f x x ±=±→

2o

)

()()]()([lim 000

x g x f x g x f x x ?=?→

3o )

()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→

??

? ??≠→0)(lim 0x g x x

2.

复合函数的连续性:

)]([),(),(x f y x u u f y ??===

)]

([)(lim ),

()(lim 0)

(000

x f u f x x x u x x ????==→→

则:)]

([)](lim [)]([lim 00

x f x f x f x x x x ???==→→

3.

反函数的连续性:

)

(),(),(001

x f y x f x x f y ===-

)

()(l i m )()(l i m 01

1

00

y f y f x f x f y y x x --→→=?=

㈢函数在

],[b a 上连续的性质

1.最大值与最小值定理:

)(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值。

x

2. 有界定理:

)(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上一定有界。 3.介值定理:

)(x f 在],[b a 上连续?在),(b a 内至少存在一点

ξ,使得:c f =)(ξ,

其中:

M

c m ≤≤

x

x

推论:

)(x f 在],[b a 上连续,且)(a f 与)(b f 异号

?

),(b a 内至少存在一点ξ,使得:0)(=ξf 。

4.初等函数的连续性:

初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学

§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念

1.导数:

)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义,

x x f x x f x y

x x ?-?+=??→?→?)()(l i m l i m 0000

0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0

0)(0x x x x dx

dy

x f y ===

'='

2.左导数:

00)

()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-

→- 右导数:0

00)

()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+

→+

定理:

)(x f 在0x 的左(或右)邻域上连续在

其内可导,且极限存在;

则:

)(lim )(0

0x f x f x x '='-

→-

(或:

)(lim )(0

0x f x f x x '='+

→+) 3.函数可导的必要条件:

定理:

)(x f 在0x 处可导?)(x f 在0x 处连续

4. 函数可导的充要条件:

定理:

)(00

x f y x x '='

=存在)()(00x f x f +-'='?,

且存在。

5.导函数:

),(x f y '=' ),(b a x ∈

)(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f '

6.导数的几何性质:

y ?

)(0x f '

是曲线

)(x f y =上点 x ?

()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0

㈡求导法则

1.基本求导公式:

2.导数的四则运算: 1o v u v u '±'='±)(

2o

v u v u v u '?+?'='?)(

3o

2v v u v u v u '?-?'='

??

?

??

)0(≠v

3.复合函数的导数:

)]([),(),(x f y x u u f y ??===

dx

du

du dy dx dy ?=,或 )()]([})]([{x x f x f ???'?'=' ☆注意

})]([{'x f ?与)]([x f ?'的区别:

})]([{'x f ?表示复合函数对自变量x 求导;

)]([x f ?'表示复合函数对中间变量)(x ?求导。

4.高阶导数:

)(),(),

()3(x f x f x f 或'''''

)4,3,2(,])([)()

1()

( ='=-n x f

x f

n n

函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分:

)(x f 在x 的某个邻域内有定义,

)()(x o x x A y ?+??=?

其中:

)(x A 与x ?无关,)(x o ?是比x ?较高

阶的无穷小量,即:0

)(lim 0=??→?x

x o x

则称)(x f y =在x 处可微,记作:

x x A dy ?=)(

dx x A dy )(= )0(→?x

2.导数与微分的等价关系:

定理:

)(x f

x 处可微)(x f ?在x 处可导,

且:

)()(x A x f ='

3.微分形式不变性:

du

u f dy )('=

不论u 是自变量,还是中间变量,函数的

微分

dy 都具有相同的形式。

§2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理

1.罗尔定理:

)(x f 满足条件:

.

0)(,),().()(3;),(2],[10.0.

0.='????

??=ξξf b a b f a f b a b a 使得存在一点内至少

在内可导在上连续;在

o

2.

a

b a f b f f b a b a b a --=

'????)

()()(),(),(2],[10

ξξ,使得:在一点内至少存

在内可导;在上连续

,在

㈡罗必塔法则:(∞

,0

型未定式)

定理:

)(x f 和)(x g 满足条件:

1o

)或)

或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f a

x a

x ;

2o 在点a 的某个邻域内可导,且

0)(≠'x g ;

3o

)(或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x

则:)(或∞=''=∞→∞→,)

()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x ☆注意:1o

法则的意义:把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

2o

若不满足法则的条件,不能使用法则。

即不是

型或

∞∞型时,不可求导。

3o

应用法则时,要分别对分子、分母 求导,而不是对整个分式求导。

4o

)(x f '和)(x g '还满足法则的条件,

可以继续使用法则,即:

)(或∞=''''=''=∞→∞→∞→A x g x f x g x f x g x f a x a x a x )

()(lim )()(lim )()(lim )()()(

5o

若函数是

∞-∞∞?,0型可采用代数变

形,化成

或∞

型;若是

0,0,1∞

∞型可

采用对数或指数变形,化成

或∞

∞型。

㈢导数的应用

1. 切线方程和法线方程:

设:

),(),(00y x M x f y =

切线方程:

))((000x x x f y y -'=-

法线方程:

)0

)

(

(

),

(

)

(

1

'

-

'

-

=

-x

f

x

x

x

f

y

y

2.曲线的单调性:

)

,

(

)

(b

a

x

x

f∈

'内单调增加;

在)

,

(

)

(b

a

x

f

?

)

,

(

)

(b

a

x

x

f∈

'内单调减少

在)

,

(

)

(b

a

x

f

?

)

,

(

)

(b

a

x

x

f∈

>

'内严格单调增加;

在)

,

(b

a

?

)

,

(

)

(b

a

x

x

f∈

<

'内严格单调减少

在)

,

(b

a

?

3.函数的极值:

⑴极值的定义:

)

(x

f

)

,

(b

a

内有定义,

x

)

,

(b

a

内的一点;

若对于

x

的某个邻域内的任意点

x

x≠

,都有:

)]

(

)

(

)[

(

)

(

0 0

x f

x

f

x

f

x

f≤

≥或

则称

)

(

x

f

)

(x

f

的一个极大值(或极小值),

x

)

(x

f

的极大值点(或极小值点)。

⑵极值存在的必要条件:

定理:

)

(

)

(

.2

)

(

)

(

.1

=

?

?

?

?

'

x

f

x

f

x

f

x

f

存在。

存在极值

x

称为

)

(x

f

的驻点

⑶极值存在的充分条件: 定理一:

是极值点。是极值;时变号。过不存在;或处连续;在0000000

00

)()(.3)(0)(.2)(.1x x f x x f x f x f x x f ?

??

???

''='

x

渐增通过

x 时,

)(x f 由(+)变(-)

)(0x f 为极大值;

x

渐增通过0x 时,)(x f 由(-)变(+);则)(0x f 为极小值。

定理二:

是极值点。是极值;存在。;0000

00

)()(.20)(.1x x f x f x f ??

??

''='

0)(0<''x f ,则)(0x f 为极大值;

0)(0>''x f ,则)(0x f 为极小值。

☆注意:驻点不一定是极值点,极值点也不一定是驻点。

4.曲线的凹向及拐点:

⑴若

()b a x x f ,,0)(∈>'';则)(x f 在),(b a 内是上凹的(或凹的)

,(∪);

⑵若

()b a x x f ,,0)(∈<'';则)(x f 在),(b a 内是下凹的(或凸的),(∩);

()的拐点。

为称时变号。过,)()(,)(.20)(.10000

00

x f x f x x x f x f ????

''=''

5。曲线的渐近线:

⑴水平渐近线:

的水平渐近线。

是或若)()(l i m )(l i m x f A y A x f A x f x x =??????==+∞→-∞

⑵铅直渐近线:

的铅直渐近线。

是或若)()(lim )(lim x f C x x f x f C x C

x =??????∞=∞=+-→→

第三章 一元函数积分学

§3.1 不定积分 一、主要内容

㈠重要的概念及性质:

1.原函数:设:

D x x F x f ∈),(),(

若:

)()(x f x F ='

则称)(x F 是)(x f 的一个原函数,

并称

C x F +)(是)(x f 的所有原函数,

其中C 是任意常数。

2.不定积分:

函数

)(x f 的所有原函数的全体,

称为函数

)(x f 的不定积分;记作:

?+=C

x F dx x f )()(

其中:

)(x f 称为被积函数;

dx x f )(称为被积表达式;

x

称为积分变量。

3. 不定积分的性质:

[])

()(x f dx x f ='

?

或:

[]dx

x f dx x f d )()(=?

C x f dx x f +='?

)()(

或:

C x f x df +=

?)()(

?+++dx x f x f x f n

)]()()([2

1

???+++=dx x f

dx x f dx x f n

)()()(2

1

—分项积分法

??=dx

x f k dx x kf )()( (k 为非零常数)

4.基本积分公式:

㈡换元积分法: ⒈第一换元法:(又称“凑微元”法)

?

'dx

x x f )()]([????

=)

()]([x d x f ??凑微元

C t F dt t f x t +==?

?

=)()()

(?令

C

x F x t +=?

=)]([)

(??回代

常用的凑微元函数有:

1o

)

(

1

)

(

1

b

ax

d

a

ax

d

a

dx+

=

=)0

,

(≠

a

b

a为常数,

2o

)

(

)1

(

1

1

1

1

1b

ax

d

m

a

dx

m

dx

x m

m

m+

+

=

+

=+

+

为常数)

(m

3o

)

(

1

)

(b

ae

d

a

e

d

dx

e x

x

x+

=

=

)1

,0

(

),

(

ln

1

>

=a

a

a

d

a

dx

a x

x

4o

)

(ln 1

x

d

dx

x

=

5o

)

(sin

cos

)

(cos

sin x

d

xdx

x

d

dx=

-

=

)

(c o t

c s c

)

(t a n

s e c2

2x

d

xdx

x

d

xdx-

=

=

6o

)

(arccos

)

(arcsin

1

1

2

x

d

x

d

dx

x

-

=

=

-

)

o t

(

)

(a r c t a n

1

1

2

x

a r c

d

x

d

dx

x

-

=

=

+

2.第二换元法:

???

==)

()]([)()

(t d t f dx

x f t x ???令

?+='=C t F dx t f t )()]([)(??

C

x F x t +=-=?

-)]([1

)

(1??反代

第二换元法主要是针对含有根式的被积函数,

其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换:

1o

0,,>=t n t x n

为偶数时

(当被积函数中有

n

x

时)

2o

20),cos (,sin π≤≤==t x a x t a x 或

(当被积函数中有

2

2x a -时)

3o

)0(,0),cot (,tan 22ππ≤<<≤==t t t a x t a x 或

(当被积函数中有

2

2

x

a +时)

4o

)0(,0),csc (,sec 22π

π≤<<≤==t t t a x t a x 或

(当被积函数中有2

2a

x -时)

㈢分部积分法: 1. 分部积分公式:

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