第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
???∈∈=21)()(D x x g D x x f y
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1
(y)
y=f -1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数:
y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),
则称f(x)在D 内单调增加( );
若f(x 1)≥f(x 2),
则称f(x)在D 内单调减少( );
若f(x 1)<f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( );
若f(x 1)>f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性:
周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数
4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数: y=c , (c 为常数)
2.幂函数: y=x n
, (n 为实数)
3.指数函数: y=a x
, (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x
y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x ∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
A
y n n =∞
→lim
称数列
{}n y 以常数A 为极限;
或称数列{}
n y 收敛于A.
定理: 若{}
n y 的极限存在
?{}n y 必定有界.
2.函数的极限:
⑴当
∞→x 时,)(x f 的极限:
A
x f A x f A x f x x x =????
?==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim
⑵当
0x x →时,)(x f 的极限:
A x f x x =→)(lim 0
左极限:
A x f x x =-
→)(lim 0
右极限:A x f x x =+→)(lim 0
⑶函数极限存的充要条件:
定理:
A
x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0
㈡无穷大量和无穷小量
1. 无穷大量:
+∞
=)(lim x f
称在该变化过程中
)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指:
,,,∞→+∞→-∞→x x x 00
0,,x x x x x x →→→+-
2.
无穷小量:
)(lim =x f
称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3.
无穷大量与无穷小量的关系:
定理:)0)((,)
(1
lim 0)(lim ≠+∞=?=x f x f x f 4.
无穷小量的比较:
0lim ,0lim ==βα
⑴若0lim =α
β,则称β是比α较高阶的无穷小量;
⑵若c =α
βlim (c 为常数),则称β与α同阶的无穷小量;
⑶若
1lim =α
β,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;
⑷若∞=α
βlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理:若:
;
,2211~~βαβα
则:
2
12
1lim
lim
ββαα=
㈢两面夹定理 1. 数列极限存在的判定准则:
设:
n
n n z x y ≤≤ (n=1、2、3…)
且: a z y n n n n ==∞
→∞
→lim lim
则: a x n n =∞
→lim
2. 函数极限存在的判定准则: 设:对于点x 0的某个邻域内的一切点 (点x 0除外)有:
)
()()(x h x f x g ≤≤
且:
A
x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
则:
A
x f x x =→)(lim 0
㈣极限的运算规则
若:
B x v A x u ==)(lim ,)(lim
则:①
B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[
②
B A x v x u x v x u ?=?=?)(lim )(lim )]()(lim[
③B
A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((l i m ≠x v 推论:①
)]()()(lim[21x u x u x u n ±±±
)(lim )(lim )(lim 21x u x u x u n ±±±=
②
)(lim )](lim[x u c x u c ?=?
③n
n x u x u )]
([lim )](lim[=
㈤两个重要极限
1.1
sin lim 0=→x
x x 或 1)()
(sin lim 0)(=→x x x ??? 2.e x
x
x =+∞→)11(lim e x x
x =+→10)1(l i m
§1.3 连续
一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性
1. 函数在
0x 处连续:)(x f 在0x 的邻域内有定义,
1
o
0)]()([lim lim 000
=-?+=?→?→?x f x x f y x x
2
o
)()(lim 00
x f x f x x =→
左连续:
)()(lim 00
x f x f x x =-
→
右连续:)()(lim 00
x f x f x x =+→
2. 函数在
0x 处连续的必要条件:
定理:)(x f 在0x 处连续?)(x f 在0x 处极限存在
3. 函数在
0x 处连续的充要条件:
定理:
)()(lim )(lim )()(lim 000
x f x f x f x f x f x x x x x x ==?=+
-→→→
4. 函数在[]
b a ,上连续:
)(x f 在
[]
b a ,上每一点都连续。
在端点
a 和
b 连续是指:
)()(lim a f x f a
x =+
→ 左端点右连续;
)()(l i m b f x f b
x =-→ 右端点左连续。
a
0 b x 5. 函数的间断点:
若
)(x f 在0x 处不连续,则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况:
1o
)(x f
在
0x 处无定义;
2
o
)
(lim 0
x f x x →不存在;
3o
)(x f
在
0x 处有定义,且)
(lim 0
x f x x →存在,
但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→。
两类间断点的判断: 1o 第一类间断点:
特点:
)(lim 0
x f x x -→和
)(lim 0
x f x x +
→都存在。
可去间断点:
)
(lim 0
x f x x →存在,但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→,或)(x f
在
0x 处无定义。
2o 第二类间断点:
特点:
)(lim 0
x f x x -→和
)(lim 0
x f x x +
→至少有一个为∞,
或
)
(lim 0
x f x x →振荡不存在。
无穷间断点:
)(lim 0
x f x x -→和
)(lim 0
x f x x +
→至少有一个为∞
㈡函数在0x 处连续的性质
1.
连续函数的四则运算:
设
)()(lim 00
x f x f x x =→,
)
()(lim 00
x g x g x x =→
1o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ±=±→
2o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ?=?→
3o )
()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→
??
? ??≠→0)(lim 0x g x x
2.
复合函数的连续性:
)]([),(),(x f y x u u f y ??===
)]
([)(lim ),
()(lim 0)
(000
x f u f x x x u x x ????==→→
则:)]
([)](lim [)]([lim 00
x f x f x f x x x x ???==→→
3.
反函数的连续性:
)
(),(),(001
x f y x f x x f y ===-
)
()(l i m )()(l i m 01
1
00
y f y f x f x f y y x x --→→=?=
㈢函数在
],[b a 上连续的性质
1.最大值与最小值定理:
)(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值。
x
2. 有界定理:
)(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上一定有界。 3.介值定理:
)(x f 在],[b a 上连续?在),(b a 内至少存在一点
ξ,使得:c f =)(ξ,
其中:
M
c m ≤≤
x
x
推论:
)(x f 在],[b a 上连续,且)(a f 与)(b f 异号
?
在
),(b a 内至少存在一点ξ,使得:0)(=ξf 。
4.初等函数的连续性:
初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念
1.导数:
)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义,
x x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(l i m l i m 0000
0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0
0)(0x x x x dx
dy
x f y ===
'='
2.左导数:
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数:0
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+
→+
定理:
)(x f 在0x 的左(或右)邻域上连续在
其内可导,且极限存在;
则:
)(lim )(0
0x f x f x x '='-
→-
(或:
)(lim )(0
0x f x f x x '='+
→+) 3.函数可导的必要条件:
定理:
)(x f 在0x 处可导?)(x f 在0x 处连续
4. 函数可导的充要条件:
定理:
)(00
x f y x x '='
=存在)()(00x f x f +-'='?,
且存在。
5.导函数:
),(x f y '=' ),(b a x ∈
)(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f '
6.导数的几何性质:
y ?
)(0x f '
是曲线
)(x f y =上点 x ?
()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0
㈡求导法则
1.基本求导公式:
2.导数的四则运算: 1o v u v u '±'='±)(
2o
v u v u v u '?+?'='?)(
3o
2v v u v u v u '?-?'='
??
?
??
)0(≠v
3.复合函数的导数:
)]([),(),(x f y x u u f y ??===
dx
du
du dy dx dy ?=,或 )()]([})]([{x x f x f ???'?'=' ☆注意
})]([{'x f ?与)]([x f ?'的区别:
})]([{'x f ?表示复合函数对自变量x 求导;
)]([x f ?'表示复合函数对中间变量)(x ?求导。
4.高阶导数:
)(),(),
()3(x f x f x f 或'''''
)4,3,2(,])([)()
1()
( ='=-n x f
x f
n n
函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分:
)(x f 在x 的某个邻域内有定义,
)()(x o x x A y ?+??=?
其中:
)(x A 与x ?无关,)(x o ?是比x ?较高
阶的无穷小量,即:0
)(lim 0=??→?x
x o x
则称)(x f y =在x 处可微,记作:
x x A dy ?=)(
dx x A dy )(= )0(→?x
2.导数与微分的等价关系:
定理:
)(x f
在
x 处可微)(x f ?在x 处可导,
且:
)()(x A x f ='
3.微分形式不变性:
du
u f dy )('=
不论u 是自变量,还是中间变量,函数的
微分
dy 都具有相同的形式。
§2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理
1.罗尔定理:
)(x f 满足条件:
.
0)(,),().()(3;),(2],[10.0.
0.='????
??=ξξf b a b f a f b a b a 使得存在一点内至少
在内可导在上连续;在
o
2.
a
b a f b f f b a b a b a --=
'????)
()()(),(),(2],[10
ξξ,使得:在一点内至少存
在内可导;在上连续
,在
㈡罗必塔法则:(∞
∞
,0
型未定式)
定理:
)(x f 和)(x g 满足条件:
1o
)或)
或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f a
x a
x ;
2o 在点a 的某个邻域内可导,且
0)(≠'x g ;
3o
)(或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x
则:)(或∞=''=∞→∞→,)
()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x ☆注意:1o
法则的意义:把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o
若不满足法则的条件,不能使用法则。
即不是
型或
∞∞型时,不可求导。
3o
应用法则时,要分别对分子、分母 求导,而不是对整个分式求导。
4o
若
)(x f '和)(x g '还满足法则的条件,
可以继续使用法则,即:
)(或∞=''''=''=∞→∞→∞→A x g x f x g x f x g x f a x a x a x )
()(lim )()(lim )()(lim )()()(
5o
若函数是
∞-∞∞?,0型可采用代数变
形,化成
或∞
∞
型;若是
0,0,1∞
∞型可
采用对数或指数变形,化成
或∞
∞型。
㈢导数的应用
1. 切线方程和法线方程:
设:
),(),(00y x M x f y =
切线方程:
))((000x x x f y y -'=-
法线方程:
)0
)
(
(
),
(
)
(
1
≠
'
-
'
-
=
-x
f
x
x
x
f
y
y
2.曲线的单调性:
⑴
)
,
(
)
(b
a
x
x
f∈
≥
'内单调增加;
在)
,
(
)
(b
a
x
f
?
)
,
(
)
(b
a
x
x
f∈
≤
'内单调减少
在)
,
(
)
(b
a
x
f
?
⑵
)
,
(
)
(b
a
x
x
f∈
>
'内严格单调增加;
在)
,
(b
a
?
)
,
(
)
(b
a
x
x
f∈
<
'内严格单调减少
在)
,
(b
a
?
3.函数的极值:
⑴极值的定义:
设
)
(x
f
在
)
,
(b
a
内有定义,
x
是
)
,
(b
a
内的一点;
若对于
x
的某个邻域内的任意点
x
x≠
,都有:
)]
(
)
(
)[
(
)
(
0 0
x f
x
f
x
f
x
f≤
≥或
则称
)
(
x
f
是
)
(x
f
的一个极大值(或极小值),
称
x
为
)
(x
f
的极大值点(或极小值点)。
⑵极值存在的必要条件:
定理:
)
(
)
(
.2
)
(
)
(
.1
=
?
?
?
?
'
x
f
x
f
x
f
x
f
存在。
存在极值
x
称为
)
(x
f
的驻点
⑶极值存在的充分条件: 定理一:
是极值点。是极值;时变号。过不存在;或处连续;在0000000
00
)()(.3)(0)(.2)(.1x x f x x f x f x f x x f ?
??
???
''='
当
x
渐增通过
x 时,
)(x f 由(+)变(-)
;
则
)(0x f 为极大值;
当
x
渐增通过0x 时,)(x f 由(-)变(+);则)(0x f 为极小值。
定理二:
是极值点。是极值;存在。;0000
00
)()(.20)(.1x x f x f x f ??
??
''='
若
0)(0<''x f ,则)(0x f 为极大值;
若
0)(0>''x f ,则)(0x f 为极小值。
☆注意:驻点不一定是极值点,极值点也不一定是驻点。
4.曲线的凹向及拐点:
⑴若
()b a x x f ,,0)(∈>'';则)(x f 在),(b a 内是上凹的(或凹的)
,(∪);
⑵若
()b a x x f ,,0)(∈<'';则)(x f 在),(b a 内是下凹的(或凸的),(∩);
⑶
()的拐点。
为称时变号。过,)()(,)(.20)(.10000
00
x f x f x x x f x f ????
''=''
5。曲线的渐近线:
⑴水平渐近线:
的水平渐近线。
是或若)()(l i m )(l i m x f A y A x f A x f x x =??????==+∞→-∞
→
⑵铅直渐近线:
的铅直渐近线。
是或若)()(lim )(lim x f C x x f x f C x C
x =??????∞=∞=+-→→
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分 一、主要内容
㈠重要的概念及性质:
1.原函数:设:
D x x F x f ∈),(),(
若:
)()(x f x F ='
则称)(x F 是)(x f 的一个原函数,
并称
C x F +)(是)(x f 的所有原函数,
其中C 是任意常数。
2.不定积分:
函数
)(x f 的所有原函数的全体,
称为函数
)(x f 的不定积分;记作:
?+=C
x F dx x f )()(
其中:
)(x f 称为被积函数;
dx x f )(称为被积表达式;
x
称为积分变量。
3. 不定积分的性质:
⑴
[])
()(x f dx x f ='
?
或:
[]dx
x f dx x f d )()(=?
⑵
C x f dx x f +='?
)()(
或:
C x f x df +=
?)()(
⑶
?+++dx x f x f x f n
)]()()([2
1
???+++=dx x f
dx x f dx x f n
)()()(2
1
—分项积分法
⑷
??=dx
x f k dx x kf )()( (k 为非零常数)
4.基本积分公式:
㈡换元积分法: ⒈第一换元法:(又称“凑微元”法)
?
'dx
x x f )()]([????
=)
()]([x d x f ??凑微元
C t F dt t f x t +==?
?
=)()()
(?令
C
x F x t +=?
=)]([)
(??回代
常用的凑微元函数有:
1o
)
(
1
)
(
1
b
ax
d
a
ax
d
a
dx+
=
=)0
,
(≠
a
b
a为常数,
2o
)
(
)1
(
1
1
1
1
1b
ax
d
m
a
dx
m
dx
x m
m
m+
+
=
+
=+
+
为常数)
(m
3o
)
(
1
)
(b
ae
d
a
e
d
dx
e x
x
x+
=
=
)1
,0
(
),
(
ln
1
≠
>
=a
a
a
d
a
dx
a x
x
4o
)
(ln 1
x
d
dx
x
=
5o
)
(sin
cos
)
(cos
sin x
d
xdx
x
d
dx=
-
=
)
(c o t
c s c
)
(t a n
s e c2
2x
d
xdx
x
d
xdx-
=
=
6o
)
(arccos
)
(arcsin
1
1
2
x
d
x
d
dx
x
-
=
=
-
)
o t
(
)
(a r c t a n
1
1
2
x
a r c
d
x
d
dx
x
-
=
=
+
2.第二换元法:
???
==)
()]([)()
(t d t f dx
x f t x ???令
?+='=C t F dx t f t )()]([)(??
C
x F x t +=-=?
-)]([1
)
(1??反代
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数,
其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换:
1o
0,,>=t n t x n
为偶数时
(当被积函数中有
n
x
时)
2o
20),cos (,sin π≤≤==t x a x t a x 或
(当被积函数中有
2
2x a -时)
3o
)0(,0),cot (,tan 22ππ≤<<≤==t t t a x t a x 或
(当被积函数中有
2
2
x
a +时)
4o
)0(,0),csc (,sec 22π
π≤<<≤==t t t a x t a x 或
(当被积函数中有2
2a
x -时)
㈢分部积分法: 1. 分部积分公式: