【冀教版】八年级数学下册：21.1 第1课时 正比例函数教案

第二十一章一次函数

21.1 一次函数

第1课时正比例函数

1．理解正比例函数的概念，并掌握正

比例函数图象和性质；(重点)

2．运用正比例函数解决简单的问

题．(难点)

一、情境导入

鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套

上标志环；大约128天后，人们在2.56万千

米外的澳大利亚发现了它．

(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天

飞行多少千米？

(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30

天计算)的行程大约是多少千米？

(3)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞

行时间x(单位：天)之间有什么关系？

二、合作探究

探究点一：正比例函数

【类型一】辨别正比例函数

下列式子中，表示y是x的正比

例函数的是()

A．y＝

2

x B．y＝x＋2C．y＝x

2D．y

＝2x

解析：选项A，y＝

2

x，自变量次数不为

1，错误；选项B，y＝x＋2，是和的形式，

错误；选项C，y＝x2，自变量次数不为1，

错误；选项D，y＝2x，符合正比例函数的

含义，正确．故选D.

方法总结：正比例函数y＝kx成立的条

件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1.

【类型二】确定正比例函数中字母的

值

若函数y＝(m－3)x|m|－2是正比例

函数，则m的值为()

A．3B．－3C．±3D．不

能确定

解析：由题意得|m|－2＝1，且m－3≠0，

解得m＝－3.故选B.

方法总结：正比例函数自变量的指数为

1，系数不能为0.

探究点二：正比例函数的图象和性质

【类型一】正比例函数的图象

在下列各图象中，表示函数y＝

－kx(k＜0)的图象的是(

)

解析：∵k＜0，∴－k＞0，∴函数y＝

－kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，

且函数为正比例函数．故选C.

方法总结：要知道正比例函数的图象是

过原点的直线，且当k＞0时，图象过第一、

三象限；当k＜0时，图象过第二、四象限．【类型二】正比例函数的性质

关于函数y＝

1

3x，下列结论中，正

确的是()

A．函数图象经过点(1，3)

B．不论x为何值，总有y＞0

C．y随x的增大而减小

D．函数图象经过第一、三象限

解析：A.当x＝1时，y＝

1

3，故A选项

错误；B.只有当x＞0时，y＞0，故B选项

错误；C.∵k＝

1

3＞0，∴y随x的增大而增大，

故C选项错误；D.∵k＝

1

3＞0，∴函数图象

经过第一、三象限，故D选项正确．故选

D.

方法总结：解题的关键是了解正比例函

数的比例系数的符号与正比例函数的关系

及其增减性．

【类型三】正比例函数的图象与系数

的关系

已知正比例函数y＝(m－1)x的图

象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，

有y1＞y2，那么m的取值范围是()

A．m＜1B．m＞1C．m＜2

D．m＞0

解析：根据题意，y随x的增大而减小，

则m－1＜0，即m＜1.故选A.

方法总结：直线y＝kx所在的位置与k

的符号有直接的关系：k＞0时，直线必经过

第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0

时，直线必经过第二、四象限，y随x的增

大而减小．

【类型四】正比例函数图象上点的坐

标特征

点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y

＝－x上，则y1与y2的关系是()

A．y1≥y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1

＞y2

解析：∵点A(5，y1)和B(2，y2)都在直

线y＝－x上，∴y1＝－5，y2＝－2.∵－5＜

－2，∴y1＜y2.故选C.

方法总结：熟知一次函数图象上各点的

坐标一定适合此函数的解析式是解答此题

的关键．

探究点三：求正比例函数的解析式

【类型一】用定义求正比例函数的解

析式

已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，

y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝5；当

x＝－1时，y＝11，求y与x之间的函数表

达式，并求当x＝2时y的值．

解析：设y1＝kx2，y2＝a(x－2)，得出y

＝kx2＋a(x－2)，把x＝1，y＝5和x＝－1，

y＝11代入得出方程组，求出方程组的解即

可，把x＝2代入函数解析式，即可得出答

案．

解：设y1＝kx2，y2＝a(x－2)，则y＝kx2

＋a(x－2)，把x＝1，y＝5和x＝－1，y＝11

代入得

??

?

??k－a＝5，

k－3a＝11，

解得

??

?

??a＝－3，

k＝2，

∴y与x

之间的函数表达式是y＝2x2－3(x－2)．把x ＝2代入得y＝2×22－3×(2－2)＝8.

方法总结：用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．

【类型二】用待定系数法求正比例函数的解析式

已知正比例函数y＝kx图象经过

点(3，－6)，求：

(1)这个函数的解析式；

(2)判断点A(4，－2)是否在这个函数图

象上；

(3)图象上两点B(x1，y1)、C(x2，y2)，如

果x1＞x2，比较y1，y2的大小．

解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代

入正比例函数y＝kx中计算出k即可得到解

析式；(2)将A点的横坐标代入正比例函数

关系式，计算函数值，若函数值等于－2，

则A点在这个函数图象上，否则不在这个函

数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k

＜0时，y随x的增大而减小，即可判断．

解：(1)∵正比例函数y＝kx经过点(3，

－6)，∴－6＝3·k，解得k＝－2，∴这个正

比例函数的解析式为y＝－2x；

(2)将x＝4代入y＝－2x得y＝－8≠－

2，∴点A(4，－2)不在这个函数图象上；

(3)∵k＝－2＜0，∴y随x的增大而减

小．∵x1＞x2，∴y1＜y2.

方法总结：将A点的横坐标代入正比例

函数关系式，求出函数值，再进一步判定是

解决问题的关键．

三、板书设计

1．正比例函数的图象

2．正比例函数的性质

3．正比例函数解析式的确定

本节课在教师引导下使学生通过自己

的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来

发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、

总结进行知识归纳，理论提升的教学方

法．由学生亲自来发现事物的特征和规律，

更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生

兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于

发展学生的创造性思维能力．

正比例函数的教案设计

正比例函数的教案设计 【篇一：正比例函数教学设计方案】 正比例函数的图像和性质教学设计 福建长乐吴航中学郑官 一、概述 《正比例函数的图象和性质》是九年制义务教育课本八年级第一学 期第十四章的内容。之前，学生已经有了平面坐标系的基本知识、 常量与变量以及正比例函数的概念等知识，正比例函数，是同学们 初中第一次接触的函数，描点画图得到其图像的方法为后面学习反 比例函数的图像，以及下学期学习一次函数和二次函数打下良好基础。并且通过观察图像的变化得到其性质也是学习函数性质的通用 方法。因此，本节课具有承上启下的重要作用。函数还有着非常广 泛的实际应用；函数还是培养学生数学能力的良好题材，所以函数 在初中数学中占着举足轻重的作用。函数的思想是一种重要的数学 思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数形结合等数 学思想方法，不仅是知识性方面，更重要的学习方法方面，作为一 名数学老师,要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学方法，因此本节课在教学中力图向学生展示正比例函数图像的 运动变化，通过观察、归纳体会数形结合数学思想方法。 二、教学目标分析 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标： 1．知识与技能： （1）能画正比例函数的图像，并能结合公理和正比例函数图象特点 快速作图；（2）能够在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简 单描述及应用。 2．过程与方法： （1）初步能够从数学角度去观察事物，思考问题，体验解决问题方 法策略的多样性； （2）逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学 生数形结合的思想以及由特殊到一般的数学思想； （3）能够尝试演绎推理发现规律，体验合作学习的过程。 3．情感 态度与价值观：

正比例函数教案设计

【问题】1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它(一个月按30天计算) ．（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系？ （3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？ （4）对这个问题你还能提出什么结论． 分析：（1）这只燕鸥大约平均每天飞行的路程不少于 25600÷（30×4+7）≈200（km）. （2）假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为 y=200x (0 x 127). （3）这只燕鸥飞行1个半月的行程，大约是x=45时的函数y=200x 的值，即 y=200×45=9000(km). （4）略． 3.共同思考 下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？ （1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化？ （2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化；

（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化； （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化． 可以得出上面问题中的函数分别为： （1）l=2 r （2）m=7.8V （3）h=0.5m （4）T=-2t 4.归纳定义 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数（proportional function）,其中k叫做比例系数． 5.共同参与 请你举出一些实际问题，使问题中的变化规律是正比例函数的形式． 6.例题讲解 为了研究正比例函数的性质，我们是通过研究正比例函数图象性质而达到的，因此例题是画出正比例函数图象． 先给同学们提一个问题： 描点法画函数图象的一般步骤是、、 ． 例1.画出下列正比例函数的图象： （1）y=2x （2）y=-2x 解：（1）y=2x

沪教版-八年级数学-正比例函数与反比例函数复习讲义

正比例函数与反比例函数 一．选择题（共15小题） 1．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( ) A ．3 x y = B ．3 x y =- C ．3y x = D ．3y x =- 2．反比例函数m y x =的图象在第二、四象限内，则点(,1)m -在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．关于反比例函数4 y x =- ，下列说法正确的是( ) A ．函数图象经过点(2,2) B ．函数图象位于第一、三象限 C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大 D ．当1x >时，4y <- 4．反比例函数3 k y x +=的图象在二，四象限，则k 的取值范围是( ) A ．3k … B ．3k -… C ．3k > D ．3k <- 5．若1(3B -，1)y 、2(2,)A y -、3(1,)C y 三点都在函数(0)k y k x =>的图象上，则1y 、2y 、3 y 的大小关系是( ) A ．312y y y >> B ．213y y y >> C ．231y y y >> D ．321y y y >> 6．反比例函数k y x = 的图象经过点(1,2)-，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是图象上另两点，其中120x x <<，那么1y 、2y 的大小关系是( ) A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．都有可能 7．已知点1(1,)A y ，2(2,)B y ，3(2,)C y -都在反比例函数(0)k y k x =>的图象上，则( ) A ．123y y y >> B ．321y y y >> C ．231y y y >> D ．132y y y >> 8．若点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 都在反比例函数1 y x =-的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是( ) A ．123y y y << B ．231y y y << C ．132y y y << D ．312y y y <<

正比例函数教学设计

正比例函数教学设计 中江县继光实验学校梁斌 一、教学目标 (一)知识与技能 认识正比例函数的意义；掌握正比例函数解析式特点；能利用所学知识解决相关实际问题. (二)过程与方法 经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力. (三)情感、态度与价值观 通过小组讨论,培养自己的团队合作能力及人际交往能力. 二、教学重难点 （一）教学重点:理解正比例函数的概念. （二）教学难点:从实际问题中抽象出正比例函数. 三、学情分析： 本节课是在学习了变量,函数的基础上,继续对变量之间的关系进行考查,也是后面学习一次函数的基础,因此本节知识起到了承上启下的作用,符合学生的认知规律。本班学生对之前所学相关知识掌握较好。在本节课的教学中力图通过大量的事例向学生展示变量之间的一类特殊关系,引出正比例函数概念。通过不同类型的问题引导学生观察探究熟悉正比例函数的特征。让学生在学习过程中感受函数的思想,从而激发学生学习函数的信心和兴趣,为进一步讨论一般的一次函数奠定基础。 四、教学过程： （一）情境引入： 问题1(图片回顾秋游白马关活动) 继光实验学校与白马关相距60Km，汽车行驶速度为50Km/h, 考虑下列问题： (1)从继光实验学校到白马关需要多少小时？________________； (2)汽车行驶的路程y（单位：km）与行驶时间t（单位：h）之间有何数量关系？_______________； (3)汽车从继光实验学校出发0.8 h后，是否已经过了距继光实验学校37公里的东湖山公园？________________________________. 问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式． （1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化； （2）铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化； （3）每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n 变化而变化； （4）冷冻一个0 ℃的物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t （单位：min）的变化而变化． （二）探究归纳 比较上面所列的函数关系式，它们有什么共同特点？（学生交流讨论） 正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

正比例函数的图像与性质教案

19.2.1正比例函数图像与性质导学案 教学内容 正比例函数图像与性质 教学目标 1、知识与技能： 知识性目标：理解正比例函数图像特征． 技能性目标：能画出正比例函数图像 2、数学思考： 数学思想：体会与发展建立数学模型和数形结合的思想． 数学研究方法：从特殊到一般，从数到形研究正比例函数图像特征及性质. 3、解决问题： 利用正比例函数图像特征及性质知识解决有关实际问题． 4、情感与态度： 结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯. 教学重难点 教学重点：正比例函数图像特征和性质. 教学难点：正比例函数图像特征和性质的综合运用. 一情境导入： 3月31日清晨，强飓风尼可拉斯以每小时192km的速度从北部登陆德国，造成重大损伤，飓风在德国横扫的路程随时间变化而变化吗？ t (h) 1 2 3 4 s (km) 问题1.从上表中，你能得出时间和路程之间的函数关系式吗？ 问题2.上述解析式是正比例函数吗？ 那么它们的图像有什么性质呢？ 二自主探究

在同一直角坐标系中画出下列函数图像. （1）y=2x （2） 解：列表得： 根据你所画的图像回答: 1.上述图像的形状是_____________. 2.对函数y=kx, ,当x=0时，y=＿，函数过点__________． 当x=１时，y=＿，函数过点__________． 函数y=kx 是一条经过点________和点________的__________． 3.当k>0时，直线y=kx 经过第____________象限. 当k<0时，直线y=kx 经过第____________象限. 4.在函数y=2x 上，当x=-1时，y=____. 当x=0时，y=_____. 当x=1时，y=_____. 当x 增大时，y____________.图像从左到右呈________趋势. 在函数y=-2x 上，当x=-1时，y=____. 当x=0时，y=_____. 当x=1时，y=_____. 当x 增大时，y______________.图像从左到右呈________趋势. 归纳：正比例函数的性质： x … -3 -2 -1 1 2 3 … y=2x … … … … x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-2x … … y=-x … … x y 21=x y 2-=x y -=x y 2 1 =

2020年沪教版(上海)八年级数学上学期第十八章正比例函数和反比例函数拓展提高卷A卷

2020年沪教版（上海）八年级上学期第十八章正比例函数和反比例函数拓展提高卷A 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 1 . 关于正比例函数y＝－3x，下列结论正确的是（） A．图象不经过原点B．y的值随着x增大而增大C．图象经过二、四象限D．当x＝1时，y＝3 2 . 如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PD⊥x轴于点D,△PDO的面积为2，则k的值为（） A．－1B．－2C．－4D．－6 3 . 为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图所示）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是（） A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟 4 . 如图，点M是函数与的图象在第一象限内的交点，，则k的值为（）

A．2B．C．D． 5 . 下列式子中表示是的反比例函数的是（） A．B． C．D． 6 . 一次函数y=-kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（-，y1）、（-1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（） A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1 二、填空题 7 . 已知反比例函数y＝－5x－1，当x＜0时，它的图象的这一支在第__象限，y随x的增大而_____. 8 . 如图是反比例函数y＝的图象的一个分支，对于给出的下列说法： ①常数k的取值范围k>2；②另一分支在第三象限；③在函数图象上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当a1>a2时，则b1a2时，则b1

2020八年级数学下册 19.2.1 正比例函数教案1 (新版)新人教版

第十九章一次函数 19.2 一次函数 19.2.2一次函数（1） 【教学目标】 知识与技能 理解正比例函数的概念； 过程与方法 经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识； 情感、态度与价值观 经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力． 【教学重难点】 重点：正比例函数的概念。 难点：正比例函数性质的理解。 【导学过程】 【情景导入】 前面我们学习了函数的概念，函数是怎么定义的？在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么，我们称y是x的函数。其中，x是自变量，y是x的函数（因变量）。今天，我们继续研究函数，我们要研究一个较为简单、应用广泛的函数——正比例函数。 【新知探究】 探究一、2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米。 设列车的平均速度为300千米每小时。考虑以下问题： （1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时？（保留一位小数）（2）京沪高铁的行程ykm与时间th之间有何数量关系？ （3）从北京南站出发2.5小时后是否已过了距始发站1100千米的南京南站？ 探究二、 1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式． （1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化； （2）铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化； （3）每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n 变化而变化； （4）冷冻一个0 ℃的物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化． 这些函数的共同点：

正比例函数教案

《正比例函数》教案 教学目标 知识与能力： 1．了解正比例函数的定义、图像及其画法。 2．理解正比例函数的性质。 过程与方法： 1、通过对实际问题的探究，确定正比例函数的模型。 2、经历描点法绘制函数图像的过程，探究正比例函数的图像及其性质。 情感、态度与价值观： 1．体会正比例函数模型对现实世界数量关系的描述，认识函数刻画和解决现实问题的重要工具。 2.通过交流合作，培养学生的数学交流能力和团队协作精神。 教学重点： １．理解正比例函数意义及解析式特点。 ２．掌握正比例函数图象的性质特点。 ３．能根据要求完成转化，解决问题。 教学难点： 正比例函数的性质。 教具准备： 课件、直尺，平面直角坐标系练习纸。 教学过程一、复习引入（师生活动） 用六年级下册学过的正比例关系式变形后用x的式子表示y，既y=kx，导出y和x 之间成正比例关系。 教师指出：本节课我们所要讨论的函数是——正比例函数。（板书） 二、正比例函数的定义（师生活动） 课件展示如下问题 1、提问：下列问题中变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？ 这些函数有什么共同特点？ （１）．圆的周长L随半径r的大小变化而变化； （２）．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化； （３）．每个练习本的厚度为0.5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化； （4）．冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化. 2.给学生足够的时间，鼓励学生独立思考或相互讨论，给出问题的解答。教师可参与到学生的讨论中去，了解学生对知识的掌握情况。 3.一段时间后，鼓励学生积极发言，师生共同分析讨论，教师作总结发言，肯定学生的积极表现，给出问题的解答：（板书） （１）．根据圆的周长公式可得：L=2 r； （２）．根据质量=密度×体积可得：m=7.8V； （３）．据题意可知： h=0.5n。 （4）．据题意可知：T=-2t 4. 请学生观察上述例子中的四个函数关系式，思考并讨论：它们有什么共同特 点？

沪教版(上海市)八年级(上)学 第18章 正比例函数与反比例函数 单元测试卷 (含解析)

第18章 正比例函数与反比例函数 单元测试卷 一．选择题（共6小题） 1．一辆汽车以50/km h 的速度行驶，行驶的路程()s km 与行驶的时间()t h 之间的关系式为50s t =，其中变量是( ) A ．速度与路程 B ．速度与时间 C ．路程与时间 D ．三者均为变量 2．八年级（6）班一同学感冒发烧住院洽疗，护士为了较直观地了解这位同学这一天24h 的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是( ) A ．列表法 B ．图象法 C ．解析式法 D ．以上三种方法均可 3．在函数5 x y x +=中，自变量x 的取值范围是( ) A ．0x > B ．5x - C ．5x -且0x ≠ D ．0x 且0x ≠ 4．已知反比例函数的图象经过点(1,3)，则这个反比例函数的表达式为( ) A ．3y x =- B ．3y x = C ．13y x = D ．13y x =- 5．在2(1)1y k x k =-+-中，若y 是x 的正比例函数，则k 值为( ) A ．1- B ．1 C ．1± D ．无法确定 6．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：)A 与电阻R （单位：)Ω是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为( ) A ．24I R = B ．36I R = C ．48I R = D ．64I R = 二．填空题（共12小题） 7．如果1 ()1 f x x = -，那么(2)f = ． 8．已知变量s 与t 的关系式是232s t t =+，则当2t =-时，s = ． 9．若函数2 1 m y mx -=是正比例函数，且图象在二、四象限，则m = ．

正比例函数图像教案

正比例函数图像与性质 房县石堰河中学： 舒德永 一、教学目标： 知识与技能 1、理解正比例函数的概念，能在用描点法画正比例函数图象过程中 发现正比例函数图象性质 2、能用正比例函数图象的性质简便地画出正比例函数图像 3、能够利用正比例函数解决简单的数学问题 过程与方法 学生通过探究实际问题中函数关系归纳得出正比例函数的概念，再 通过动手操作画图象观察概括出正比例函数图象的性质。学生在探究合作中交流，体验知识的形成过程 情感态度与价值观 通过教师的主导作用，提高学生的合作学习效率，让学生体会合作学习的好处。 教学重点 探索并理解正比例函数图像的主要性质。 教学难点 结合正比例函数图像，探索并理解正比例函数图像的主要性质。 二、教学过程： 1.复习 一般地，形如 （ ）函数，叫做正比例函数，其中k 叫做 。 2.练习 （1）．下列函数中，那些是正比例函数？______________ （1）x y 4= （2）13+=x y （3）1=y （4）x y 8= （5）y=x 3 （6） y=x 2 2.关于x 的函数x m y )1(-=是正比例函数，则m__________ 3.若y=5x 3m-2是正比例函数，则m=___________. 4. 若(1)n y n x =-是正比例函数，则n ＝ . 3.合作互学 1.还记得描点法画函数图象的一般步骤吗？ ①______________,②___________________③____________________ 2.用描点法画出下列函数的图像 （1） y=2x 解：列表得：

观察所画图像，填写你发现的规律： （1） 函数x y 2=的图像是经过原点的 __________， （2） 函数x y 2=的图像经过第_______象限，从左到右_______，即y 随x 的增 大而________； （3） 函数kx y =（0>k )的图像经过第_______象限，从左到右_______，即y 随x 的增大而________； （2）、 y=-2x 解：列表得： 观察所画图像，填写你发现的规律： （4） 函数x y 2-=的图像是经过原点的 __________. （5） 函数x y 2-=的图像经过第_______象限，从左到右呈_______趋势，即y 随x 的增大而________； （6） 函数kx y =（0

数学人教版初中二年级下册 正比例函数教案

19.2.1正比例函数（1） 学习目标：1、理解正比例函数的意义 2、掌握正比例函数的解析式的一般特点 3、根据已知条件写出正比例函数解析式 学习重点：正确理解正比例函数的概念 学习难点：函数关系式的确定 学习过程： 一、自主探究： 问题1：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km，设列车的平均速度为300km/h。考虑以下问题： （1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？（结果保留小数点后一位） （2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？ （3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经超过了距始发站1100km的南京南站？ 设计意图：从具体情境入手，使学生认识到数学与现实问题总是密不可分的，人们的需要产生了数学。路程、速度与时间之间的关系学生较熟悉，当速度一定时，路程是时间的函数，用这些简单的实例不断从现实世界中抽象出数学模型，建立数学关系的方法。 问题2：完成书本86--87页思考： 设计意图：通过这些实际问题使学生进一步加深对函数概念的理解，也为导出函数概念做好铺垫。 二、合作探究： 活动1、探索新知 （1）认真观察上面的五个函数，你会发现这些函数都是_________和_________的 _______ 的形式。 （2）五个函数解析式用一个一般形式如何表达呢？ 归纳：一般地，形如_________ （）函数，叫做正比例函数，其中k叫做________ 活动2、自学检测 1）下列函数中哪些是正比例函数？在后面的括号里打“√”或“×”

(1) y=3x ( ) (2)y=x 3 ( ) (3)y=—x 21+1 ( ) (4)y=ax ( ) (5)y=x 2 ( ) (6)y=（a 2+1）x - 2 ( ) 归纳总结正比例函数的三个特征： ① __________________ ② __________________ ③ __________________ 设计意图：通过归纳、分析使学生明白正比例函数的特征、理解其解析式的特点 活动3、应用新知 1）若y=5x3m-2是正比例函数，m=__1____ 2）若y=(m-2)xm2-3 是正比例函数，m= -2 已知y=（k+1）x+k2-1是正比例函数，求k 的值． 设计意图：使学生更深入的了解和应用正比例函数定义 活动4：例题解析 例：已知y 与x 成正比例，当x=4时，y=8，试求y 与x 的函数解析式 象这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做__________ 练习： 若一个正比例函数的比例系数是4，则它的解析式是___________ 正比例函数y=kx 中，当x=2时，y=10，则它的解析式是___________ 已知y 与x －1成正比例，x=8时，y=6，写出y 与x 之间函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时y 的值。 三：本课小结 问题:本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？ 设计意图：让学生参加小结并允许学生答案不同，可以增强学生学习的积极性和主动性，培养他们对所学知识的回顾思考习惯；通过小结也强调了本节课的重点，巩固了学习内容。

一次函数与正比例函数教案

课题：一次函数与正比例函数 教学目标： 知识与技能目标： 1、经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符合意义 2、理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次 函数表达式 过程与方法目标 1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。 2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。 情感与态度目标 1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。 2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力 重点： 将实际问题用一次函数表示 难点： 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展学生的抽象思维能力?教学流程： 一、课前回顾 1. 函数 一般的，在某个变化过程中，有两个变量X和y,如果给定一个X值，相应的就确定 一个y值，那么我们称y是X的函数. 2、函数的表示法： ①图象法、 ②列表法、 ③解析式法（关系式法） 二、情境引入

探究1：某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量X每增加1kg,弹簧

长度 y增加0.5cm. x/kg012345 y/cm (2)你能写出X与y之间的关系式吗？ 答案⑴ 3 、3.5、4、4.5、5、5.5 ； (2) y = 3+ 0.5x. 探究2:某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L. (1) 完成下表： 汽车行驶路程x/km050100150200300 油箱剩余汽油量y/L (2) 你能写出X与y之间的关系式吗？ (3) 汽车行驶的路程X可以无限增大吗？有没有一个取值范围？剩余油量y呢? 答案(1)100 、91、82、73、64、46； ⑵X 与y之间的关系式为y= 100- 0.18x ； (3) 汽车行驶路程X不可能无限增大，因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L, 行驶560km 后,油箱就没有油了，所以X不会超过560km.y代表油箱剩余油量，所以y应该小于100但不能小于零. 归纳：一次函数的定义 思考：这些函数的形式都是自变量X的k倍与一个常数的和

沪教版(上海)八年级上册数学 18.2正比例函数 同步练习

18.2正比例函数同步练习 一．选择题（共10小题） 1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（） A． y=﹣2x2B． y=C． y=D． y=x﹣2 2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（） A． 0 B．﹣2 C． 2 D．﹣0.5 3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（） A．±2 B．﹣2 C．D． 4．下列说法正确的是（） A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系 B．三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系 C． y=中，y与x成反比例关系 D． y=中，y与x成正比例关系 5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（） A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系 B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系 C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系 D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（） A． 3 B．﹣3 C．±3 D．不能确定 7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（） A． k=2 B．k≠2C． k=﹣2 D．k≠﹣2 8．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（） A．1B．2C．3D． 4 8题图 9题图 9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（） A． k1＜k2＜k3＜k4B． k2＜k1＜k4＜k3C． k1＜k2＜k4＜k3D． k2＜k1＜k3＜k4 10．在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（）

正比例函数的图像和性质教学设计

《正比例函数的图象和性质》一节的教学设计 商南县初级中学石贵旺 一、教学内容：正比例函数的图象和性质 二、教学目标： （一）知识与能力 1、进一步巩固正比例函数的概念，会画正比例函数的图象，进一步熟悉函数图象作图步骤。 2、能根据正比例函数图象观察、发现归纳出它的性质，并会简单运用。 （二）过程与方法 1、通过实例函数图象画法的学习，发现并总结正比例函数图象的常用画法。 2、通过观察、探究、分析、引导学生发现正比例函数的性质。 3、培养学生善于观察问题发现结论，了解数形结合及由一般到特殊的数学思想。 （三）情感态度及价值观 培养学生积极参与数学活动，勇于探究，发现数学的现象和规律，培养学生的数学交流能力和团队协作精神。 三、教学重点：正比例函数图象的画法及性质的探索。 四、教学难点：发现、归纳正比例函数的性质。 五、教法与学法 教法：本节课选用引导学生观察，发现法和探索实践归纳法。本节课的难点是发现正比例函数性质，因此我通过教师引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动（画、图、交流、展示）、多观察（图象），主动参与到整个教学活动中来，最后发现其性质。 学法指导：教师引导学生观察、发现、归纳的学习方法。 六、教具：三角板、多媒体。 七、教学过程。 教学过程： （1）温故知新，引入课题。 1、下列函数哪些是正比例函数？ （1）y=－3x （2）y= x + 3 （3） y= 4x （4）y= x2

2、（学生回答完上述问题后提问概念） 一般地，形如y= kx（K≠0）的函数，叫正比例函数，其中K叫做比例系数。 3、画函数图象的一般步骤 （1）列表（2）描点（3）连线 学生回答后： 教师引导：现在我们已经知道正比例函数的意义及画图象的步骤，那么正比例函数的图象有什么特征呢？ 出示课题 （二）探究正比例函数的图象和性质 例1、画出下列正比例函数的图象。 （1）y=2x （2）y=－2x 解（1）函数y=2x中x 可取任意实数，列表如下： 描点 连线 (2)学生练习画出函数y=－2x的图象。 (3)提出问题

《正比例函数》教案

《19.2.1正比例函数》教案 一、教材分析： 正比例函数是人教版八年级下册数学非常重要的内容，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，正比例函数是一次函数特例，也是初中数学中的一种最简单最基本的函数，努力上好正比例函数才能为后面学习一次函数打下基础，因此，本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，为此在教学中通过生活实际，引导学生观察探索，让学生在学习过程中感悟函数思想，从而激发学生学习函数的信心和兴趣。 二、学情分析 学生在小学已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念。再从正比例关系到正比例函数，这个年龄段的学生，以感性认识为主，加上本节课内容的概念性和理论性较强，并向理性认知过渡，学生可能缺乏学习兴趣，因此，我对本节课的设计是通过学生所熟悉的问题情境出发，使学生的自主探索贯穿课堂全过程，同时注意教师与学生的互动，加强教师的引导和示范，在对比和分组讨论中让学生在“做中学”，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。 三、教学目标 （1）知识目标：知道正比例函数的概念，掌握正比例函数解析式特点，根据正比例函数的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。 （2）能力目标：经历思考，探究过程，发展总结归纳

能力，体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关思想。 （3）情感态度：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作交流的学习习惯。 四、教学重、难点 教学重点：理解正比例函数的概念及形式。 教学难点：利用正比例函数解决相关问题。 五、教法学法 教法：本节课的重点是理解正比例函数的概念，利用正比例函数解决生活实际问题，在教学过程中，抓住学生已有的知识点，在学生主动参与和教师引导下充分调动学生的学习积极性和主动性，使学生在自主探索的过程中掌握新知识，教师的主导作用与学生主体地位达到了相互统一。为了提高课堂效果，适当的辅以多媒体技术，使学生获得直观的印象，激发学生的学习兴趣，增强对知识点的理解。 学法:根据学生的学情，本节课我从学生已有的知识基础和生活经验出发，采取“先学后教，当堂训练”的学习方式，在方法的设计上，重点突出知识的形成过程，充分体现学生的主体地位。通过本节课的教学，教师引导学生学会观察、归纳的学习方法，培养探究、自主学习能力。 六、教学过程设计 （一）情境导入——激发兴趣 问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？

一次函数与正比例函数教学设计

第四章一次函数 ２．一次函数 一、学生起点分析 在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成x y x y +=-=-等，培养学生良好的书写习惯. 1,1 二、教学任务分析 《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级 (上) 第四章《一次函数》的第二节.本节内容安排了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力. 与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的. 本节课教学目标分析是： (1)理解一次函数和正比例函数的概念； (2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. (3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力； (4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力. (5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣. (6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心. 本节课教学重点是：

理解一次函数和正比例函数的概念. 本节课教学难点是： 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力. 三、教学过程设计 本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业. 第一环节：复习引入 内容：复习上节课学习的函数,教师提出问题: (1)什么是函数? (2)函数有哪些表示方式? (3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些 例子呢? 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识. 效果： 问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是在一个开放的环境中回答,学生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标. 若课堂气氛比较沉闷,也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题) ①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,则他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么? ②上网费用是2元/小时,则上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么? 第二环节：新课讲述

沪教版(上海)八年级上18.2第2课时正比例函数的图像与性质

沪教版（上海）八年级上18.2第2课时正比例函数的图像与 性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．当k ＞0时，正比例函数y =kx 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知函数y ＝kx(k≠0)的函数值随x 的增大而增大，则函数的图象经过( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 3．关于函数12 y x =，下列结论正确的是 （ ） A ．函数图像必经过点（1，2） B ．函数图像经过二、四象限 C ．y 随x 的增大而增大 D ．y 随x 的增大而减小 4．若正比例函数y =kx 的图象在第一、三象限，则k 的取值可以是（ ） A ．1 B ．0或1 C ．±1 D ．–1 5．苹果的单价为4元/kg ，购买x kg 苹果与总价y （元）之间的解析式是4y x =，这里总价y 随着千克数x 的增大而（ ）. A ．增大 B ．减小 C ．不变 D ．不确定 6．一次函数y=-x 的图象平分（ ） A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 7．结合函数y=-2x 的图象回答，当x ＜-1时，y 的取值范围（ ） A ．y ＜2 B ．y ＞2 C ．y≥12 D ．y≤12 8．P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是正比例函数y =?x 图象上的两点，则下列判断正确的是（ ） A ．y 1＞y 2 B ．y 1＜y 2 C ．当x 1＜x 2时，y 1＞y 2 D ．当x 1＜x 2 时，y 1＜y 2

正比例函数教学设计方案

正比例函数的图像和性质教学设计 福建长乐吴航中学郑官 一、概述 《正比例函数的图象和性质》是九年制义务教育课本八年级第一学期第十四章的内容。之前，学生已经有了平面坐标系的基本知识、常量与变量以及正比例函数的概念等知识,正比例函数,是同学们初中第一次接触的函数,描点画图得到其图像的方法为后面学习反比例函数的图像，以及下学期学习一次函数和二次函数打下良好基础。并且通过观察图像的变化得到其性质也是学习函数性质的通用方法。因此,本节课具有承上启下的重要作用。函数还有着非常广泛的实际应用;函数还是培养学生数学能力的良好题材，所以函数在初中数学中占着举足轻重的作用。函数的思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数形结合等数学思想方法，不仅是知识性方面，更重要的学习方法方面，作为一名数学老师,要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学方法，因此本节课在教学中力图向学生展示正比例函数图像的运动变化，通过观察、归纳体会数形结合数学思想方法。 二、教学目标分析 根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征 ,我制定如下教学目标： １．知识与技能： （１）能画正比例函数的图像,并能结合公理和正比例函数图象特点快速作图; （2）能够在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。 2.过程与方法： （1）初步能够从数学角度去观察事物,思考问题,体验解决问题方法策略的多样性； （2)逐步培养学生的观察能力，概括的能力,通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由特殊到一般的数学思想; （３）能够尝试演绎推理发现规律,体验合作学习的过程。 3.情感态度与价值观： (1）通过小组合做讨论，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望; （２)通过本节课的教学希望能激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。 以上三个目标不是独立存在的，在落实知识与技能的过程中也贯穿着过程与方法、情感态度与价值观的体现,它们密不可分,相互联系相互影响的。 三、学习者特征分析 本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的 学生情况：

《正比例函数》教学案例

2017-2018学年第二学期 《19.2.1正比例函数》教学案例 一、教材分析： 正比例函数是人教版八年级下册数学非常重要的内容，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，正比例函数是一次函数特例，也是初中数学中的一种最简单最基本的函数，努力上好正比例函数才能为后面学习一次函数打下基础，因此，本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，为此在教学中通过生活实际，引导学生观察探索，让学生在学习过程中感悟函数思想，从而激发学生学习函数的信心和兴趣。 二、学情分析 学生在小学已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念。再从正比例关系到正比例函数，这个年龄段的学生，以感性认识为主，加上本节课内容的概念性和理论性较强，并向理性认知过渡，学生可能缺乏学习兴趣，因此，我对本节课的设计是通过学生所熟悉的问题情境出发，使学生的自主探索贯穿课堂全过程，同时注意教师与学生的互动，加强教师的引导和示范，在对比和分组讨论中让学生在“做中学”，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。 三、教学目标 1.知识目标：知道正比例函数的概念，掌握正比例函数解析式特点，根据正比例函数的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。

2.能力目标：经历思考，探究过程，发展总结归纳能力，体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关思想。 3.情感态度：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作交流的学习习惯。 四、教学重、难点 教学重点：理解正比例函数的概念及形式。 教学难点：利用正比例函数解决相关问题。 五、教法学法 教法：本节课的重点是理解正比例函数的概念，利用正比例函数解决生活实际问题，在教学过程中，抓住学生已有的知识点，在学生主动参与和教师引导下充分调动学生的学习积极性和主动性，使学生在自主探索的过程中掌握新知识，教师的主导作用与学生主体地位达到了相互统一。为了提高课堂效果，适当的辅以多媒体技术，使学生获得直观的印象，激发学生的学习兴趣，增强对知识点的理解。 学法:根据学生的学情，本节课我从学生已有的知识基础和生活经验出发，采取“先学后教，当堂训练”的学习方式，在方法的设计上，重点突出知识的形成过程，充分体现学生的主体地位。通过本节课的教学，教师引导学生学会观察、归纳的学习方法，培养探究、自主学习能力。 六、教学过程设计 （一）情境导入——激发兴趣 问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km．设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海