一元微积分的应用
第九讲 一元微积分的应用
§1 函数单调增减性的判别
定理：设函数()f x 在(),a b 内恒有()'0f x >（()'0f x <），则()f x 在(),a b 内是单调增
的（或单调减的），记为： （或 ）。 注意：个别点处()'0f x =不影响()f x 的单调性。
例：3'2,3,0y x y x x ===时'0y =，但是3y x = 应用：
一．判别单调性：
例1：设函数()f x 在[]0,a 0a ≥连续，()0f x =。在()0,a 内可导，()'f x 单调增，
令()()f x F x x
=。证明：在()F x 在()0,a 内单增。
证明：()()()
()'00f x f x f xf x ξξ=- <<=
拉氏定理
()()()()()()()()'
'
'
'''
'
2
2
f x xf x f x xf x xf f
x f F x x x x x
ξξ---??====
≥????
（ ()'
f
x 单调增，0x >）
； 故在()F x 在()0,a 内单增。
二．求单调区间 例2：设()()
1
10x
f x dt x ?=
> ?
?
，求()f x 的单减区间。
解：()'
1f
x
=()'
0f x =1x ?=； ∴当()0,1x ∈时，()'
0f x <，所以()f x 单调减；
当()1,x ∈∞时，()'
0f
x >，所以()f x 单调增；
∴()f x 的单减区间为：()0,1或者(]0,1。 三．证明不等式
例3：证明：1x >时，()
()2
2
1ln 1x x x ->-
证明：令：()()
()2
2
1ln 1F x x x x =---，则：
()()()'211
2ln 1212ln 2F x x x x x x x x x x =+---=--+；
()''211
2ln 210F x x x x x
=+-+>
∴()'F x ，()()''
1
lim 00x F x F x +
→=?>； ∴()F x ，()10F +=；
故()()10F x F +>=； 即：()
()2
2
1ln 10x x x --->。
§2 函数的极值与最值
定义：设函数()y f x =在0x x =的临域内有定义，x 为该临域内异于0x 的任一点，若恒
有()()0f x f x >（或()0f x <），则()0f x 称为()f x 的极小值（极大值）。 极大值与极小值统称为极值。使函数取极值的点为极值点。
注意：极值的概念是局部性概念，极大值不一定是区间内的最大值；
极大值不一定比极小值大。 定义：使()'
0f
x =的解，称为()f x 得驻点。
0x 为()f x 的驻点，不能? 0x 为()f x 的极值点； 同样，
0x 为()f x 的极值点，不能?0x 为()f x 的驻点。
例如：0x =为3y x =的驻点，不能? 0x =为3
y x =的极值点；
0x =为y x =的极小值点，不能?0x =为y x =的驻点。
1Th ：（取极值的必要条件）设()0f x 为()f x 的极值，又()f x 在0x x =处可导，
则()'
00f
x =。
2Th ：（取极值的充分条件）设()f x 在0x x =的邻域内可导（在0x x =处()'f x 可以不
存在，但必须()f x 在0x x =处连续），若： ①x ：0x →→；()'
f
x ：-→()'
00f x =或()'
0f x 不存在+
→
?()0f x 为()f x 的极小值；
②x ：0x →→；()'
f
x ：+
→()'
00f x =或()'
0f x 不存在-
→()0f x
?()0f x 为()f x 的极大值；
③ 若()'f x 在0x x =的两侧不变号，则 ()0f x 不是()f x 的极值。
3Th ：设()f x 在0x x =的邻域内二阶可导，且()'00f x =，()''00f x ≠。
当()''00f x >时，()0f x 为()f x 的极小值； 当()''00f x <时，()0f x 为()f x 的极大值。 极值的求法：
① 求()'f x ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ； ② 利用定理2或定理3判别i x 是否为极值点，并判别类型； ③ 求出极值。 最值的求法：
① 求()'f x ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ； ② 求出()i f x ：若()f x 在[],a b 连续，也求出()(),f a f b ； ③ 比较以上所得函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。 例1：设函数()f x 在0x =的邻域内连续，且()00f =，()
0lim
21cos x f x x
→=--，则在0x =
处，()f x [ ]：
（A ）不可导 （B ）可导但()'
00f
≠
（C ）取极大值 （D ）取极小值 解： ()()()
000lim
lim 21cos 1cos x x f x f x f x x
→→-==---
()()
()021cos f x f x x
α-?
=-+-， 其中()0lim 0x x α→=
()()
()()()()021c o s 00f
x f x x f x f α?-=-+-
≤?≤????，故答案为
C 。 例2：设(
)y f x =为微分方程'''sin 0x y y e +-=的解，()'00f x =，
则在0x x = 处()f x [ ]： （A ）0x x =的邻域内单增 （B ）0x x =的邻域内单减
（C ）取极大值 （D ）取极小值 解： ()()()()0
sin ''
'sin '''0000x
x f
x f x e f x f x e +-=?+-=
()()'000
sin ''00f x x f x e ==>?
。故()0f x 为()f x 的极小值。故选C 。
例3：()''
f x 连续，且()'
00f =，()
''0lim
1x f x x
→=，则在0x =处，()f x [ ]： （A ）取极大值 （B ）取极小值
（C ）()()
0,0f 为拐点 （D ）()f x 不取极值也在()()
0,0f 处不是拐点
解： ()
''0lim
1x f x x
→= ∴当0x →时，()''f x x 0x >， ∴在0x =的邻域内，()''0f x > ∴()0f 为()f x 的极小值。 故选B 。
例4：设()()
()0
00lim
n
x x f x f x k x x →-=-，讨论()f x 在0x x =处的极值。
解：()()
()
()()
()
()0
0000lim
n
n
x x f x f x f x f x k k x x x x x α→--=?
=+--
()()()()00n
f x f x k x x x α?-=+-????，其中()0
lim 0x x x α→=。
① 当0k >时，n 为偶数时，()()00f x f x -≥，∴()0f x 为()f x 的极小值； ② 当0k
<时，n 为偶数时，()()00f x f x -≤，∴()0f x 为()f x 的极大值；
③ 当n 为奇数时，()()0f x f x -不保号， ∴()0f x 不是()f x 的极值； 例5：求抛物线24x y =到y 轴上的定点()0,P b 的最短距离。
解：d =
=
令：()()()()()'0
2
'
4422f y f y y y b f
y y b y b ==+-?=+-=-?
令
① 当2b ≥时，()()''
''2,220f
y f b = -=>
2y b =-为()f y 的最小值点，也即d 的最小值点。
∴min d =
=② 当2b <时，()()2
''
0,0,.y x f
y f y ≤=≤+∞ ≥
0y =为()f y 的最小值点，也即d 的最小值点。
∴min d b =。
§3 函数图形的凹凸性及拐点
定义：设函数()y f x =在[],a b 上有定义，[]12,,x x a b ∈，
若恒有()()121222f x f x x x f ++??>
???（或()()121222f x f x x x f ++??<
???
）， 则()f x 在[],a b 上为凸的（或凹的）。
1Th ：设函数()y f x =在[],a b 上二阶可导，若()''0f x >（或()''0f x <）。则()f x 的图
形在[],a b 上为凹的（或凸的）。
例：设()x ?为连续函数的正函数，令()()()0a
a
f x x t t dt a ?-=
- >?
。判别()f x 在
[],a a -上的凹凸性。
解：()()()()()()a
x a
a a
x f x x t t dt x t t dt t x t dt ???--=
- =- +- ?
?
?
()()()()x
x a
a
a a
x
x x t dt t t dt t t dt x t t dt ????--=- +-??
??
()()()()()()()'
x
a
a x f
x t dt x x x x x x t dt x x ??????--=+---+??
()()x
a
a
x
t dt t dt ??-=-?
?
()()()()'
20f
x x x x ???=+=>（ ()x ?为正函数）
故：()f x 的图形在[],a b 上为凹的。
定义：函数()y f x =的图形凹凸的分界点称为()y f x =的拐点。
2Th ：设函数()y f x =在0x x =的邻域内二阶可导，在0x x =处()''f x 可不存在，但必须
()f x 连续。若()''f x 在0x x =处的邻域内变号，则()()00,x f x 为拐点；若()''f x 在0x x =处的邻域内不变号，则()()00,x f x 不是拐点。
3Th ：设函数()y f x =在0x x =的邻域内三阶可导，且()''00f x =，()'''00f x ≠，则
()()0
,x f x 为拐点。
§4 渐近线
一． 水平渐近线
设()y f x =，若()()lim ,lim x x f x a
f x b →-∞
→+∞
= =或者()lim x f x c →∞
=，则,y a y b ==或
者y c =称为()y f x =的水平渐近线。
若极限中含有arctan ,arcctg ,x x x e 或者
x →∞时的极限，一定要分别求
出x →+∞和x →-∞时的极限。
例如：2
arctan 2
x x x π
π?→ →+∞????→- →-∞
?? ∴,22y y ππ= =-为arctan y x =的水平渐近线。
二． 铅直渐近线
设()y f x =，若()0
lim ,x x f x -→=∞ 或者()0
lim x x f x +
→=∞，或者()0
lim ,x x f x →=∞ 则0
x x =为()y f x =的水平渐近线。 铅直渐近线的求法：
① 求出使()f x 没有定义的点i x ； ② 由铅直渐近线的定义进行检验。 三． 斜渐近线
设()y f x =，若()()l i m ,l i m x x f x k b f x kx x
→∞→∞= =-????则y kx b =+ 为()y f x =的斜渐近线。
可以看出，若()f x 为x 的有理分式函数，则仅当()f x 的分子关于x 的最高次数比
()f x 关于x 的最高次数恰好大于1时，才有斜渐近线。
例：求()32
321
231x x f x x x -+=+-的斜渐近线。 解：()3323213
lim
lim 232
x x f x x x k x x x x →∞→∞-+===+-； ()()()32223213929
lim lim lim 231242231x x x x x x x b f x kx x x x x x →∞→∞→∞??-+--+=-=-==- ?+-+-??
；
故斜渐近线为：39
24
y x =
-。 例1：求()()()1
22
231arctan x
x x e
f x x
x
+-=
-的渐近线。
解：①先求水平渐近线：
()()()122
232
lim lim
1arctan x
x x x x e
f x x
x
π
→-∞
→-∞
+-==-
-； ()()()122
232
lim lim
1arctan x
x x x x e
f x x
x
π
→+∞
→+∞
+-==
-；
∴2
y π
=-
和2
y π
=
为()f x 的水平渐近线。
②再求铅直渐近线
使()f x 没有定义的点为：1,0,1x x x =-==。
()()()122
1
1
23lim lim
1arctan x
x x x x e
f x x
x →-→-+-==∞-；
()()()122
0023lim lim 1arctan x
x x x x e
f x x
x
+
+
→→+-==∞-；
()()()122
1
1
23lim lim 1arctan x
x x x x e
f x x
x
→→+-=≠∞-。
由上可知：1,0x x =-=为()f x 的斜渐近线。 ③再看有无斜渐近线
()
lim
0x f x x
→= ，所以没有斜渐近线。 例2：求3
3
30x y axy +-=的斜渐近线。 解：()lim
lim x x f x y
k x
x →∞
→∞==。 令y tx =代入方程得：2
3
33
2
333330,11at at x t x atx x y t t +-=?==++ 1x t →∞?=-；
1
l i m l i m 1x t y
k t x →∞→-===-；
()()
()()()()
32211131313lim lim
lim lim 1111x t t t at t at t at
b f x x a t t t t t t →∞
→-→-→-++=+====-+-++-+；
故斜渐线为：y x a =--，即0x y a ++=。
§5 方程根的研究
一．方程根的存在性证明
方程根的存在性的证明通常是转化为相应函数()f x 零值的存在性的证明。 证明：用① 零值定理；②洛尔定理。
例1：设()f x 在[],a b 上连续，()()0f a f b ==，又()()''0f a f b +->。
证明：?一个(),a b ξ∈，使()0f
ξ=。
证明：不妨设()'0f a +>，则：()'0f b ->。
()()()
()()0
'
l i m
l i m 0f a x a x a f x f a f x f a x a
x a
++=+
→→-=>--=
， 由极限的保号定理，?一个10δ>。当()1,x a a δ∈+时，()
()00f x f x x a
>?>-； 取一个()11,x a a δ∈+，使()10f x >； 同理：
()()()
()()0
'
l i m
l i m 0f b x b x b f x f b f x f b x b
x b
--=-
→→-=>--=
， 由极限的保号定理，?一个20δ>。当()2,x b b δ∈-时，
()
()00f x f x x b
>?<-； 取一个()22,x b b δ∈-，使()20f x <； 可知，
()f x 在[]12,x x 上或者[]21,x x 上满足零值定理，故?一个(),a b ξ∈，使()0f ξ=。
二．关于方程根的个数的研究
解题程序：
① 转化为相应函数()f x 零值个数的研究； ② 求()'
f
x 。求出驻点和使()'f x 不存在的点，得出单调区间及极值或最值。
③ 分析()f x 的极值或最值与x 轴的相对位置，有时为了使问题更明朗，还要求出区间端点的极限值。
例2
：求方程0
ln x x e π
=-?在()0,+∞内实根的个数。
解：
sin x dx π
π
π
==?
?
)
00
sin cos |xdx x π
π==-=；
令()ln x F x x e =+，则()'
11F x x e
=-； 令()'0F x x e =?=；
由表可知：()F x 在()0,e 与(),e +∞分别至多有一个零点。
()0F e =>。()()0
lim ,lim x x F x F x +
→+∞
→=-∞ =-∞。 可知，()F x 在()0,e 与(),e +∞分别至少有一个零点。
∴在()0,+∞内()F x 有两个零点，即方程有两个实根。
三．关于方程根的存在唯一性的证明
要证明两点：
① 利用单调性证明相应的函数()f x 至多有一个零值； ② 利用零值定理或洛尔定理证明()f x 至少有一个零值。 综上所述，命题得证。
例1：设()f x 在[),a +∞内连续，在(),a +∞内可导，()'
0f
x k >>，又()0f a <。
证明()0f x =在()
,f a a a k ??
+
? ???
内有且仅有一个实根。 证明：由拉式定理有：()
()()()'f a f a f a f a f k k ξ??+
-=
? ??
?
，其中，()
f a a a k ξ<<+。 又 ()'
f
x k >
∴()()()()()()'
0f a f a f a f a f f a f a k k ξ??+
=+
>+= ? ??
?
。 故在(),f a a a k ??
+
? ??
?
内至少有一个零值。
又 ()'0f x k >>，故()f x 在(),f a a a k ??
+
? ??
?
内至多有一个零值。 综上所述，()0f x =在()
,f a a a k ??
+
? ??
?
内有且仅有一个实根。 例2：设函数在[)1,+∞内连续，在()1,+∞内()()()'''0,12,13f x f f ≤==-。
证明：在()1,+∞内()0f x =又且仅有一个实根。 证明：将()f x 在1x =的右侧展成一阶泰勒公式：
()()()()()()''2
'
11112!
f f x f f x x ξ=+-+-
()''
0f x ≤ ， ∴()()''2
102!
f x ξ-≤。
于是：()()()()()'
11123753f x f f x x x ≤+-=--=-
取05
3
x >
，()00f x <，又()120f =>。 可知()f x 在[]01,x 上满足零值定理。 于是至少存在一个()()01,1,x ξ∈?+∞，使()0f ξ=。
又()''
0f
x ≤，∴()()()()'''',1313f x f f x f =-?<=-
。
即：()'
0f
x <，于是()f x
。
因此()f x 在()1,+∞内至多有一个零值。 综上所述，命题得证。
§6 积分元素法（微元法）
()ds f x dx = ()b
b
a
a
s ds f x dx ==??
例1：设有函数()0y f x =≥，求由该函数与直线,x a x b ==及x 轴所围图形绕y 轴旋转
所得旋转体体积。 解：()2y dV xf x dx π=
()2b
y a
V x f x d
x π
=?
例2：设有一个半径为R 的圆盘，其面密度为：232μρρ=-+，ρ为圆盘上的点到圆心
的距离，求圆盘的质量。 解：2dS d πρρ=，
(
)2
223
2
d M d S d d μπμρρπρρρρ
===-+； (
)24320
1
23224
R
M d R R R π
ρρρ
ρπ??=-+=-+ ???
?。 例3：设有一个半径为R 的半球型容器，其中盛满水（水的比重为ρ），先要将水抽干，求
外力所需要做的功W 。 解：2dV y dx π=；
2d y dx ρρπ=；
()222dW y xdx R x xdx ρπρπ==-；
()2
240
4
R
W R
x xdx R πρ
ρπ=-=
?
。
例4：求曲线2
31y x =--与x 轴所围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得旋转体体积。
解：22
2
211
3142112
x x y x x x x ?+ -≤≤=--=?- -≤<-<≤?或 ()()2
2
2
24133282dV dx x dx x x dx πππ??=--+=+-??
； ()24282dV x x dx π=+-；
(
)
()1
2
2
24
12010
16324482
2822163515V dV dV x x dx πππ??=+=+-=+-= ???
???。 §7 曲线的曲率 曲率圆半径 曲率圆中心
()y f x =，()f x 二阶可导，
则曲率： ()()
''
3
22'
1y k y =
+；曲率圆半径：1R k =；曲率圆中心(),αβ()()
()2''''
2'''11y y x y y y y αβ?+?
=-????+?=+ ??
§8 旋转体体积
()2b
y a
V xf x dx π=?；
()2b
x a
V f x dx π=?。
例1：过()1,0P
作抛物线y =
x 轴所围图形绕x 轴
旋转所得旋转体体积。
解：'
Q y =
；
切线PQ
方程：)00y y x x -=
-，
即：)0y x x =
-。
()1,0P 在切线上，∴其坐标()1,0满足方程。
)000013,1x x y -?= =；
切线PQ ：()()11
13122
y x y x -=
-?=- ()()3333222
1212111246
V y dx y dx x dx x dx πππππ=-=---=????切抛。
例2：求由222x y -=
，x y +
x y +=y x =所围图形绕直线y x =旋
转所得旋转体的体积V 。
解：以y x =为新的坐标轴u ，过()0,0与u 垂直且满足右手系直线为v 轴。 显然，可以看出将xoy 坐标面绕()0,0O 沿逆时针方向转4
π
即可得新的坐标系uov 。 新旧坐标的关系：
c o s s i n 44
sin cos 44u x y v x y ππππ?=+????=-+??
即
))u x y v x y ?=+????=-+??
2211;3;1x y u x y u x y uv v u
+=
?=+=?=-==-?=
； 3
32
21
1
123
V v du du u πππ===??
。
高等数学证明方法
（3）反证法 这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下，要证的结论不成立，而后从已知条件出发，运用基本概念和基本定理，通过逻辑推理导出矛盾（或与已知条件矛盾；或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），这样则否定假设，从而肯定原结论正确。 例如，证明不是的多项式. 事实上，利用反证法，设是的多项式，不妨记此多项式为次多项式，即，则有 于是次多项式有无穷多个不同实根，这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾，由此证明了不是的多项式. 又如，证明不存在（为自然数）. 事实上，利用反证法，假设存在且设，则有 又因为 所以有 故 这与产生矛盾，因此不存在. （2）分析法 这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确，运用已有的定义、定理、公式、性质，从后向前一步一步地分析，直至推出已知条件，即由结论找需知，再找需知，……，直至已知。这种“执果溯因”的方法，叫做分析法。 分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然，目的明确，较为容易找到证明的思路，但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐，因而过程多在草稿纸上进行，不正式写出。在实际解题时，特别对于一些较难的问题，常常先用分析法寻找解题的途径，然后再用综合法叙述解题过程，这种方法也可叫做分析综合法。 例如，设在时连续，且；而在时有单调递增导数，试证在时是单调递增的。 事实上，欲证为单调递增，只需证明就行了，而由于 因此就归结为证明. 利用拉格朗日中值定理及已知条件，有 单调递增 因此在时是单调递增的. 又如，用极限定义证明一数列或函数有已知极限时，多采用分析综合法证明。比如证明，其方法如下： ，欲使不等式成立， 由 所以只需，即成立. 取，于是当时，就有，从而保证了希望的不等式成立. 综合以上分析，就有 ，当时，，根据极限定义，有
一元函数微积分学在物理学上的应用1
一元函数微积分学在物理学上的应用速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心 用导数描述某些物理量1.速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。????(t),内转过的角度则物体在时刻?2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔t0，t的???(t).(t)?角速度3.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T与时间?(t).Tt 的冷却速度为t的函数关系为T=T(t),则物体在时刻??段干的质量为m?m(x),0点算起，则杆在点0，x x处的3.一根杆从一端??(x).(x)=m线密度是??这段 时间内通过导线横截面的电量为Q?Q(t4.一根导线在),0,t则导线?(t).t的电流强度 I(t)=Q在时刻5.某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度T时所需的热量为 q(T),?(T).时的比热C(T)=q则物体在温度T???(t).t时刻的功率为w?w(t),6. 某力在0,t 则时间内作的功w例1 . 设有长为12cm的非均匀杆AB,AM部分的质量与动点M到端点A的距离x的平 方52成正比，杆的全部质量为360g,则杆的质量的表达式m(x)?x,杆在任一点2 ?(x)=5x M处的线密度 5522??(x)m?x)?x5,x(x)=(m(x)=kx解：?,令x?12,m360得k?,所以m22 ?dx)F(?wx)(xF a b所作的功到b变力沿直线运动从a变力作功： 例2(1)（功1.）一圆柱形的注水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作x轴如图所示取深度x为积分变量，它的变化区间为[0，5]相应于[0，上任一小区间5][x,x?dx]的一薄层水的高度为dx，因此如x的单位为m，2??dxkN,这薄层水的重力为9.8把这层水吸出桶外需作的功近似为 ?3?dx?x88dw??2525????3462(kJ?8dx?w?所求的功为?882x?82?)20． 例2(2)（功2）设有一半径为.R，长度为l的圆柱体平放在深度为2R的水池中，???1））（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（,现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至x?2R处，计算位于[x,x?1]上的体积微元移至[2R?x,2R?x?dx]时所作的微元功。由于在水面上方与下方所受力不同，所以应分开计算，注意到介于x与x?dx之间的体积微元为2222dx(长?宽lR??x2R高?x)dx?l?2它在水面下方需移动R?x，上方需移动R?x RR 2222????dxx?R?x2)R?xdx?l)R(w?2l(?1)?(Rx?R?RR
微积分基本定理的证明
理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名：张智 学生学号：201001164 所在班级：数学101 所在专业：数学与应用数学 指导老师：杨志林
摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明
ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof
微积分中10大经典问题
微积分中10大经典问题 最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的 高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出 的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉 典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案 是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引 入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以 是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。
一元微积分的应用
第九讲 一元微积分的应用 §1 函数单调增减性的判别 定理：设函数()f x 在(),a b 内恒有()'0f x >（()'0f x <），则()f x 在(),a b 内是单调增 的（或单调减的），记为： （或 ）。 注意：个别点处()'0f x =不影响()f x 的单调性。 例：3'2,3,0y x y x x ===时'0y =，但是3y x = 应用： 一．判别单调性： 例1：设函数()f x 在[]0,a 0a ≥连续，()0f x =。在()0,a 内可导，()'f x 单调增， 令()()f x F x x =。证明：在()F x 在()0,a 内单增。 证明：()()() ()'00f x f x f xf x ξξ=- <<= 拉氏定理 ()()()()()()()()' ' ' ''' ' 2 2 f x xf x f x xf x xf f x f F x x x x x ξξ---??==== ≥???? （ ()' f x 单调增，0x >） ； 故在()F x 在()0,a 内单增。 二．求单调区间 例2：设()() 1 10x f x dt x ?= > ? ? ，求()f x 的单减区间。 解：()' 1f x =()' 0f x =1x ?=； ∴当()0,1x ∈时，()' 0f x <，所以()f x 单调减； 当()1,x ∈∞时，()' 0f x >，所以()f x 单调增； ∴()f x 的单减区间为：()0,1或者(]0,1。 三．证明不等式 例3：证明：1x >时，() ()2 2 1ln 1x x x ->- 证明：令：()() ()2 2 1ln 1F x x x x =---，则：
微积分证明不等式方法
用微积分理论证明不等式的方法 江苏省扬中高级中学 卞国文 212200 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0 00)()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：)0(221f na a a n '=+++ ．于是问题可以转化为证明 1)0(≤'f ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则n na a a f +++=' 212)0(． 利 用 导 数 的 定 义 得 ：
第四章 一元函数微积分的应用
第四章一元函数微积分的应用 内容提要：一元函数微分学的应用很广：导数与切线的关系直接从导数的定义上就可以得到，它也进一步反应了微分学的基本思想：“以曲代直”；导数与单调性的关系是中值定理的推论，它不但可以帮助我们很方便地计算函数的单调区间，还是我们证明很多不等式的重要思路；函数的极值点与拐点是重要的考点，考生需要理解并掌握它们的定义和判别定理，它们也都可以通过函数的单调性来理解。一元函数微分学的应用在考试中出现的频率很高，但总体难度不大，只要记住相应的定理和计算公式即可。 定积分的应用分为几何应用和物理应用两部分。几何应用包括通过定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积；物理应用主要是通过定积分计算一些物理量：变力做的功，液体的静压力，平面图形的质心或形心等。定积分的应用的理论基础是定积分的定义，它的基本思想是微元法，微元法可以概括为分割、近似、求和、取极限，其中近分割和近似是这四步的关键。考生复习时应该掌握常见的几何量和物理量的计算公式，同时还要深入理解微元法的思想，对主要公式要掌握其推导过程。 第一节导数的应用 Ⅰ考点精讲 1.导数与切线 设函数可导，则曲线在任意一点的切线斜率等于该点的导数值。也就是说，曲线在处的切线方程可表示为，该点的法线方程可表示为。 2.单调性定理：设函数在上连续，在上可导。 （1）如果在上有，那么函数在上单调递增。 （2）如果在上有，那么函数在上单调递减。
（单调性定理也是中值定理的推论，考生可以尝试自行推导） 3.函数极值点及其判定方法 1）.极值点 设函数在点的某领域内有定义，如果对任意的，有 ，则称是函数的一个极大值（或极小值）。2）.极值点的判别定理 a.(必要条件)设函数在处可导，并在处取得极值，那么。（罗尔定理 的推论） b.(第一充分条件)设函数在处连续，并在的某去心邻域内可导。 ⅰ）若时，而时，则在处取得极大值； ⅱ）若时，而时，则在处取得极小值； ⅲ）若时，符号保持不变，则则在处没有极值； c.(第二充分条件)设函数在处存在二阶导数且，那么 ⅰ）若则在处取得极小值； ⅱ）若则在处取得极大值。 4.函数的凹凸性 1）凹函数与凸函数的定义
证明微积分基本公式
定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明：
一元微积分在经济上的运用
一元微积分在经济上的运用 近几年来,我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性,正在探索经济问题中应用数学的规律。鹤壁职业技术学院李兰军老师在《商场现代化》2008年10月(下旬刊)上作了概率统计在经济问题中的应用研究。实践证明,一元微积分也是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具。本文将利用一元微积分方法解决一些经济问题,分析生产量、成本与利润和需求量(销售量)、价格与收益的关系,研究怎样确定或变动产品的生产量、销售量,以及商品的价格。 一、微分在经济学中的应用 由微分的定义知,当很小时,有近似公式,而所以,这个公式可用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。 例1设某国的国民经济消费模型为。其中:y为总消费(单位:十亿元);x为可支配收入(单位:十亿元)。当x=100.05时,问总消费是多少? 解令因为相对于较小,可用上面的近似公式来求值。 由此可以通过统计可支配收入来预测总消费是多少,以便确定产品的生产量。 二、最值在经济学中的应用 在经济分析中,经常遇到利润最大,成本最低等问题 1.最大利润问题 利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件,如何安排生产才能获得最大利润,这是企业管理中的现实问题。 例2某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品,成本增加2万元。其总收入R(单位:万元)是产量q(单位:百件)的函数,,求达到最大利润时的产量。 解由题意,成本函数为,于是,利润函数 , 令,得(百件).又,所以当时,函数取得极大值,因为这里极值点是惟一的,所以极大值又是最大值,即产量为300件时取得最大利润。 2.最小成本问题 例3 已知某个企业的成本函数为:, 其中C——成本(单位:千元)q——产量(单位:t).求平均可变成本y(单位:千元/t)的最小值。 解平均可变成本,令,得。 又,所以时,y取得极小值,由于因为这里极值点是惟一的,所以极小值又是最小值。(千元/t), 即产量为4.5t时平均可变成本取得最小值9750元/t. 导数概念在经济学中有两个重要的应用——边际分析和弹性分析。 1.边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念,一般指经济函数的变化率。当经济函数的自变量改变很小时,经济函数的边际函数是指它的导函数。利用导数研究经济变量的边际变化的方法,称为边际分析方法。 例4设某产品的需求函数为q=100-5p,求边际收益函数,以及q=20,50和70时的边际收益。 解收入函数为R(q)=pq,式中的销售价格p需要从需求函数中反解出来,即, 于是收入函数为,边际收入函数为,
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
微积分基本定理说课稿
《微积分基本定理》（说课稿） 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》，由宋劲松老师主编。微积分基本定理是第四章第二节内容，本节内容共设计两个课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续，它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 二、教学目标及重点、难点 1、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过本节的学习，使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，通过例题及练习，使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上，熟练掌握求定积分的方法，从而能够熟练计算定积分. （2）能力目标：本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 （3）德育目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 2、教学重点、难点 根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点：了解微积分基本定理的含义. ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位. 三、教法和学法 1、教法： 素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。 2、学法：
第五章 一元函数微积分的应用(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第五章 一元微积分的应用 5.1 函数图象的几何性质 一 基本概念 定义1 极值点与极值： （1）极大值点（极小值点）：函数()y f x =在0x 的某邻域内有定义，若0()x U x ?∈有 0()()f x f x <（0()()f x f x >）， 则称0x 为()f x 的极大值点（极小值点）；函数值0()f x 为()f x 的极大值（极小值）． （2）极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值． 定义2 凸凹函数： 函数()f x 在I 上有定义，若对任意的12,x x I ∈，有 1212()() ( )22 x x f x f x f ++<12 12()()()22x x f x f x f ++??> ? ?? （1） 则称()f x 在区间I 上是凹函数（凸函数）． 公式（1）可以改写为： 1212()()() f x x f x f x αβαβ+<+1212()()() f x x f x f x αβαβ+>+ （2） 其中,(0,1)αβ∈，且1αβ+=． 定义3 拐点： 如果函数()f x 在点0x 的左右邻域的凸凹性不同，则称点00(,())x f x 是函数()f x 的拐点； 定义4 渐近线： 若曲线()y f x =上的点M ，沿曲线无限远离原点时，它与定直线L 的距离趋于零，则称直线L 就是曲线()y f x =的渐近线。 注1 极值点和最值点的区别和联系： （1）极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点； （2）最值点若是在区间内部，最值点就是极值点；
（3）若函数在定义域区间内仅有唯一极值点，则此极值点就是最值点． 注2 拐点是曲线上的点00(,())x f x ，并非是数轴上的点0x x =． 二 基本方法 1 求极值点 有两类点可能成为极值点：导数等于0的点和导数不存在的点（仅仅可能是极值点）． 判断上述两类点是否为极值点的具体方法： （1）几何方法：若0x 的左右邻域的单调性不同，则0x 是极值点，0()f x 是极值； 在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '>；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '<，0x 为极大值点． 在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '<；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '>，0x 为极小值点． （2）代数方法：求0x 的导数，若0()f x '=(1)00()()0n f x f x -''===，而()0()0n f x ≠，则 (a) 如果n 是偶数，0x 是极值点，若()0()0n f x >,0x 是极小值点，若()0()0n f x <,0x 是极大值点； (b) 如果n 是奇数，0x 不是极值点． 2 求函数()y f x = 的单调区间 （1）求函数()f x 的定义域； （2）在定义域内求出一阶导函数()f x '等于零的点和一阶导函数不存在的点； （3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断导函数()f x '在每个区间的符号，从而得到单调区间． 3 求函数()y f x = 在区间[,]a b 或(,)a b 上的最值： 具体方法：求函数()f x 在闭区间[,]a b 上一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x ，则函数()y f x =在[,]a b 的
用微积分理论证明不等式的方法
用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心 [][]1.(),()(). 3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量 速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。 2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t). 3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),(). 5.T C (T )=q (T ). 6. (),(). Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x). 4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 . 2 2 12,5360,(),2 M 55,12,360,(),()52 2 cm AB AM M A x g m x x x m k m x x m x x ρρ='=== = =2 设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点 处的线密度(x)= 5x 解：m(x)=kx 令得所以(x)= 变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()b a w F x dx =? 5 1.53[05] [05][,]2 9.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx x w x dx πππ+??=??∴= ?=?例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的 水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示 取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为 所求的功为25823462() 2 kJ π?? ≈
大学微积分1方法总结
第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。
五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：
微积分基本定理 教案
微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差
高等数学证明题
1. 证明：函数)4)(3)(2()(---=x x x x f 在区间)4,2(内至少存在一点ξ，使0)(=''ξf 。 证明： )(x f 在]3,2[上连续，在)3,2(内可导，且0)3()2(==f f ，由罗尔定理，至少存在一 点)3,2(1∈ξ，使0)(1='ξf ，同理，至少存在一点)4,3(2∈ξ，使得0)(2='ξf ；)(x f '在 ],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，再一次运用罗尔定理，至少存在一点)4,2(),(21?∈ξξξ， 使得 0)(=''ξf 。 2. 设f 为[,]a b 上的二阶可导函数，()()0f a f b ==, 并存在一点(,)c a b ∈，使得()0f c >. 证 明至少存在一点(,)a b ξ∈，使得''()0f ξ>. (10分) 证明：考虑区间[,]a c ，则 f 在[,]a c 满足Lagrange 中值定理的条件，则存在1(,)a c ξ∈，使得 1()() '()0f c f a f c a ξ-= >-. (3分) 同理可证存在2(,)c b ξ∈, 使得 2()() '()0f b f c f b c ξ-= <-. (5分) 再考虑区间12[,]ξξ, 由条件可知导函数'()f x 在12[,]ξξ上满足 Lagrange 中值定理的条件，则存在 12(,)ξξξ∈， 使得 2121 ()() ''()0f f f ξξξξξ-= >-. 得证. 3. 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 上可导,且 0)(≤'x f ?-= x a dt t f a x x F )(1)( 证明在],[b a 内有0)(≤'x F 证明在],[b a 内有0) (≤'x F ])()()[() (1 )(2?---= 'x a dt t f x f a x a x x F (2分) = )]()()()[()(1 2 ξf a x x f a x a x ---- ]),[],[(b a x a ?∈ξ(2分) = )(ηξ f a x x '-- ]),[),((b a x ?∈ξη 0)(≤'∴x F (2分) 4. 证明:当0>x 时,x x x arctan )1ln( )1(>++