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Gaussian程序使用：分子平衡几何构型优化及分子性质计算

Gaussian程序使用：分子平衡几何构型优化及分子性质计算【实验目的与要求】

计算化学，其本质是对分子体系薛定谔方程所代表的化学理论通过大型计算机程序的求解，模拟化学的各种实验研究。作为一门计算化学实验课程，主要目的是从实际操作出发，掌握程序的使用，以便得到预期的结果。对于所涉及的理论和方法，只要求结合程序的演算能够定性予以理解。本实验主要涉及优化分子几何构型的程序输入及计算结果的解读。

【实验原理】

1. 在结构化学中，曾用“变数分离”方法对于单电子体系(氢原子和类氢离子)的Schr?dinger方程进行精确求解。但是对于多电子的分子体系，由于第i 个电子与其余电子间的排斥能取决于所有电子的坐标，使这种分离变为不可能。但可以在定核近似下将核的运动分离出去后，在固定的核势场中近似求解多电子体系的能量本征方程。

具体做法是，对第i个电子，可以假定一个单电子的分子轨道(单电子近似)，并将它用现成的原子轨道线性展开(LCAO近似)。这时，Schr?dinger方程由微分方程变成一个齐次线性的代数方程组。求解该方程组，即求各分子轨道能级及相应的分子轨道展开系数。具体过程是在给定的核坐标下，先猜测一组展开系数(极端情况均为0)，代入方程组得到一组新的系数，再代入方程组求解，周而复始，直到前后两组系数相同，称为“自恰场迭代”。这就是HF自恰场分子轨道方法。

2. 量子化学中的基组是用于描述体系波函数的若干具有一定性质的函数。基组是量子化学从头计算的基础，在量子化学中有着非常重要的意义。在量子化学计算中，根据体系的不同，需要选择不同的基组，构成基组的函数越多，基组便越大，计算的精度也越高，计算量也随之增大。

要提高量子化学计算精度，必须加大基组的规模，即增加基组中基函数的数量，增大基组规模的一个方法是劈裂原子轨道，也就是使用多个基函数来表示一个原子轨道。

劈裂价键基组就是应用上述方法构造的较大型基组，所谓劈裂价键就是将价层电子的原子轨道用两个或以上基函数来表示。常见的劈裂价键基组有3-21G、4-21G、4-31G、6-31G、6-311G等，在这些表示中前一个数字用来表示构成内层电子原子轨道的高斯型函数数目，“-”以后的数字表示构成价层电子原子轨道的高斯型函数数目。如6-31G所代表的基组，每个内层电子轨道是由6个高斯型函数线性组合而成，每个价层电子轨道则会被劈裂成两个基函数，分别由3个和1个高斯型函数线性组合而成。

劈裂价键基组能够比STO-NG基组更好地描述体系波函数，同时计算量也比最小基组有显著的上升需要根据研究的体系不同而选择相应的基组进行计算。

【实验内容】

1. 输入的基本组成部分。如图所示：

命令部分：作业类型部分总是必需的，它以第一行的第一列用符号“#”开始，此行的其余部分是自由格式。#p HF/STO-3G为不优化仅仅用此方法计算得出结果。#p HF/STO-3G opt=z-matrix表示对所输入变量进行循环，找到满足最大力、均方根力、最大位移、均方根位移的结果。

标题输入部分：这一部分也是必需的，但程序并不执行，它出现在最后结果中，起标示和说明作用，应该是作业的特征信息。该部分也以一个空行结束。

分子输入：这一部分第一行是分子的电荷和自旋多重度。例如，闭壳层中性分子输入“0 1”，带电的负离子自由基为“-1 2”。其余的行说明原子核的相对位置，用内坐标输入最方便。所谓内坐标，是用键长、键角和二面角定义原子核的位置。

2．按以下数据输入关于水分子的计算：

（1）H

#p HF/6-31G(d,p)

Water energy??????????????????????标题输入部分

0 1?????????????????????????????????分子输入

H 1 0.956

H 1 0.956 2 104.5

O 的HF/STO-3G 基态的单点计算(固定核坐标)，未引入变量。若优化这这是H

些参数则

（2）

#p HF/6-31G(d,p) opt=z-matrix

Water 6-31G(d,p) structure

0 1

H 1 r1

H 1 r2 2 a1

r1 = 0.96

r2 = 0.97

a1 = 104.5

变量说明：这是一个优化过程，优化键长r1、r2和键角a1，并极小化HF/6-31G 能量。

（3）如果分子说明写成：

0 1

H 1 r

H 1 r 2 a

r=0.96

a=104.5

两个键长为同一变量，意味优化受到限制。通过变量限制可控制分子对称性(此

例为C

2v ，上例为C

)。

（4) 用相同方法(#p HF/6-31G(d,p) opt=z-matrix)进行乙烯分子C

构型优化。#p HF/6-31G(d,p) opt=z-matrix

C 2H

opt

0 1

C 1 r1

H 1 r2 2 a1

H 1 r2 2 a1 3 180.0

H 2 r2 1 a1 3 0.0

H 2 r2 1 a1 4 0.0

=1.32

=1.09

=120.0

（5）用相同方法(#p HF/6-31G(d,p) opt=z-matrix)进行CH

F 分子C3v构型优化。#p HF/6-31G(d,p) opt=z-matrix

F (C3v) opt

0 1

F 1 r

H 1 r

2 a

H 1 r

2 a

3 b

H 1 r

2 a

3 -b

=1.38

=1.09

a=110.6

b=120.0

（5）用相同方法(#p HF/6-31G(d,p) opt=z-matrix))独立计算C

分子的结构。

#p HF/6-31G(d,p) opt=z-matrix

C 2H

opt

0 1

C 1 r1

X 2 1.0 1 90.0

X 1 1.0 2 90.0 3 0.0 H 2 r2 3 90.0 1 180.0 H 1 r2 4 90.0 2 180.0

r1=1.26

r2=1.09

（6）用相同方法(#p HF/6-31G(d,p) opt=z-matrix))独立计算呋喃分子C

4H 4 O

的结构。

#p HF/6-31G(d,p) opt=z-matrix

C 4H

O opt

0 1

C 1 r1

C 1 r1 2 a1

C 2 r2 1 a2 3 0.0

C 3 r2 1 a2 2 0.0

H 2 r3 1 a3 3 180.0

H 3 r3 1 a3 2 180.0

H 4 r4 2 a4 1 180.0

H 5 r4 3 a4 1 180.0

r1=1.40

r2=1.35

r3=1.08

r4=1.09

a1=107.0

a2=108.0

a3=120.0

a4=127.0

【实验结果】

（1）H

O分子的能量计算

(NN)、分子总能(E)以及电子动能(KE)、电子与核的吸引能(PE)、电子排斥能(EE)和FMO能 (即HOMO与LUMO能), 核对各能量之间的关系；分子中的各个原子上的静电荷以及化学键的键电荷，分子的偶极矩。

NN (nuclear repulsion energy) =9.20655 Hartrees

E(RHF) =-76.02323 a.u.

KE= 75.81501 a.u.

PE=-198.93098 a.u.

EE= 37.88619 a.u.

HOMO能=-0.49716 a.u. LUMO能=0.21238 a.u.

关系：E=NN+KE+PE+EE

各原子上的静电荷(a.u.)：1 O: -0.67321 2 H：0.33661 3 H：0.33661 化学键的键电荷(a.u.)：1O与2H：0.309 1O与3H： 0.309

分子的偶极矩：2.1842 D

（2-7），记录第一次和最后一次的分子总能，偶极矩，原子电荷，分子几何构型。

O分子的几何构型优化

（2）H

第一次：E=-76.02254 a.u.，偶极矩为 2.1911 D，原子电荷(a.u.)分别为1O -0.67632，2H 0.33767，3H 0.33865，分子所属点群为Cs，几何构型如下表所示：

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 O

2 2 H 1 0.942758( 1)

3 3 H 1 0.941795( 2) 2 105.241( 3)

------------------------------------------------------------------------

最后一次：E =-76.02362 a.u.，偶极矩为2.1476 D，原子电荷(a.u.)分别为1O -0.67069，2H 0.33534，3H 0.33534，分子所属点群为Cs,几何构型如下表所示：CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 O

2 2 H 1 0.943043( 1)

3 3 H 1 0.943061( 2) 2 105.968( 3)

------------------------------------------------------------------------ O分子结构的优化

（3）H

第一次：E=-76.02299 a.u.，偶极矩为 2.1870 D，原子电荷(a.u.)分别为1O -0.67458，2H 0.33729，3H 0.33729，分子所属点群为C

,几何构型如下表所示：

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 O

2 2 H 1 0.942614( 1)

3 3 H 1 0.942614( 2) 2 105.446( 3)

------------------------------------------------------------------------

最后一次：E =-76.02362 a.u.，偶极矩为2.1476 D，原子电荷(a.u.)分别为1O

,几何构型如下表所示：-0.67069，2H 0.33534，3H 0.33534，分子所属点群为C

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 O

2 2 H 1 0.943053( 1)

3 3 H 1 0.943053( 2) 2 105.968( 3)

------------------------------------------------------------------------

(4) 乙烯分子C

结构的优化

第一次：E=-78.03756 a.u.，偶极矩为 2.1870 D，原子电荷(a.u.)分别为1C -0.25602，2C -0.25602，3H 0.12801，4H 0.12801, 5H 0.12801, 6H 0.12801，,几何构型如下表所示：

分子所属点群为D

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 C

2 2 C 1 1.318788( 1)

3 3 H 1 1.074226( 2) 2 121.425( 6)

4 4 H 1 1.074226( 3) 2 121.425( 7) 3 180.000( 10) 0

5 5 H 2 1.074226( 4) 1 121.425( 8) 3 0.000( 11) 0

6 6 H 2 1.074226( 5) 1 121.425( 9) 4 0.000( 12) 0

------------------------------------------------------------------------

最后一次：E=-78.03884 a.u.，偶极矩为0.0000，原子电荷(a.u.)分别为1C -0.25437，2C -0.25437，3H 0.12718，4H 0.12718, 5H 0.12718, 6H 0.12718，,几何构型如下表所示：

分子所属点群为D

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 C

2 2 C 1 1.316479( 1)

3 3 H 1 1.076391( 2) 2 121.744( 6)

4 4 H 1 1.076391( 3) 2 121.744( 7) 3 180.000( 10) 0

5 5 H 2 1.076391( 4) 1 121.744( 8) 3 0.000( 11) 0

6 6 H 2 1.076391( 5) 1 121.744( 9) 4 0.000( 12) 0

------------------------------------------------------------------------

（5）CH

F (C3v) opt

第一次：E=-139.03895 a.u.，偶极矩为 2.0454 D，原子电荷(a.u.)分别为1C 0.08377，2F -0.40853，3H 0.10825，4H 0.10825, 5H 0.10825,分子所属点群为C

,几何构型如下表所示：

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 C

2 2 F 1 1.360832( 1)

3 3 H 1 1.082144( 2) 2 108.721( 5)

4 4 H 1 1.082144( 3) 2 108.721( 6) 3 120.000( 8) 0

5 5 H 1 1.082144( 4) 2 108.721( 7) 3 -120.000( 9) 0

------------------------------------------------------------------------

最后一次：E=-139.03974 a.u.，偶极矩为1.9819 D，原子电荷(a.u.)分别为1C 0.08660，2F -0.40719，3H 0.10686，4H 0.10686, 5H 0.10686,分子所属点群为C

,几何构型如下表所示：

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 C

2 2 F 1 1.364820( 1)

3 3 H 1 1.082638( 2) 2 109.185( 5)

4 4 H 1 1.082638( 3) 2 109.185( 6) 3 120.000( 8) 0

5 5 H 1 1.082638( 4) 2 109.185( 7) 3 -120.000( 9) 0 ------------------------------------------------------------------------

(6) C

分子的结构

第一次：E=-76.80898 a.u.，偶极矩为0.0000，原子电荷(a.u.)分别为1C

-0.24727，2C -0.24727，3H 0.24727，4H 0.24727,分子所属点群为D

∞h

,几何构型如下表所示：

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 C

2 2 C 1 1.163942( 1)

3 X 2 1.000000( 2) 1 90.000( 6)

4 X 1 1.000000( 3) 2 90.000( 7) 3 0.000( 10) 0

5 3 H 2 1.053127( 4) 3 90.000( 8) 1 180.000( 11) 0

6 4 H 1 1.053127( 5) 4 90.000( 9) 2 180.000( 12) 0

------------------------------------------------------------------------

最后一次：E=-76.82184 a.u.，偶极矩为0.0000，原子电荷(a.u.)分别为1C

-0.23345，2C -0.23345，3H 0.23345，4H 0.23345,分子所属点群为D

∞h

,几何构型如下表所示：

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 C

2 2 C 1 1.186066( 1)

3 X 2 1.000000( 2) 1 90.000( 6)

4 X 1 1.000000( 3) 2 90.000( 7) 3 0.000( 10) 0

5 3 H 2 1.056877( 4) 3 90.000( 8) 1 180.000( 11) 0

6 4 H 1 1.056877( 5) 4 90.000( 9) 2 180.000( 12) 0

------------------------------------------------------------------------

（7）呋喃C

O分子的结构

第一次：E=-228.62293 a.u.，偶极矩为 1.0915 D，原子电荷(a.u.)分别为1O -0.59964，2C 0.17372，3C 0.17372，4C -0.20870，5C -0.20870，6H 0.17647，7H 0.17647，8H 0.15833，9H 0.15833，分子所属点群为C

,几何构型如下表所示：

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 O

2 2 C 1 1.349886( 1)

3 3 C 1 1.349886( 2) 2 105.967( 9)

4 4 C 2 1.337001( 3) 1 111.267( 10) 3 0.000( 16) 0

5 5 C 3 1.337001( 4) 1 111.267( 11) 2 0.000( 17) 0

6 6 H 2 1.065250( 5) 1 115.598( 12) 3 180.000( 18) 0

7 7 H 3 1.065250( 6) 1 115.598( 13) 2 180.000( 19) 0

8 8 H 4 1.070281( 7) 2 126.956( 14) 1 180.000( 20) 0

9 9 H 5 1.070281( 8) 3 126.956( 15) 1 180.000( 21) 0

------------------------------------------------------------------------

最后一次：E=-228.63294 a.u.，偶极矩为0.7714 D，原子电荷(a.u.)分别为1O -0.54337，2C 0.16901，3C 0.16901，4C -0.22309，5C -0.22309，6H 0.16617，

7H 0.16617，8H 0.15960，9H 0.15960，分子所属点群为C

,几何构型如下表所示：

CD Cent Atom N1 Length/X N2 Alpha/Y N3 Beta/Z J

------------------------------------------------------------------------

1 1 O

2 2 C 1 1.343671( 1)

3 3 C 1 1.343671( 2) 2 107.146( 9)

4 4 C 2 1.339105( 3) 1 110.794( 10) 3 0.000( 16) 0

5 5 C 3 1.339105( 4) 1 110.794( 11) 2 0.000( 17) 0

6 6 H 2 1.068418( 5) 1 116.292( 12) 3 180.000( 18) 0

7 7 H 3 1.068418( 6) 1 116.292( 13) 2 180.000( 19) 0

8 8 H 4 1.070276( 7) 2 126.704( 14) 1 180.000( 20) 0

9 9 H 5 1.070276( 8) 3 126.704( 15) 1 180.000( 21) 0

------------------------------------------------------------------------

【思考与讨论】

1、内坐标的定义，特别是平面和非平面二面角的右手规则。

内坐标是描述体系内部运动的坐标。坐标平面内坐标轴上的点横坐标x与纵坐标y二者至少有一个为0,当且仅当该点是原点时x与y同时为0,所以有xy=0.对于N 原子分子，其内坐标共有3N-6（直线型分子为3N-5）个。常用的内坐标有三种，键长、键角和二面角，即用键长、键角和二面角定义原子核的位置。

平面二面角的右手规则：用右手，大拇指竖直,与四指垂直.然后四指按顺序指向形成平面的三个原子，此时大拇指的方向为法向量1，以此方法得到另一个平面的法向量2，如果方向相同，则两平面的二面角为0，如果相反，则两平面的二面角为180°。

非平面二面角的右手规则：用同样方法得到两个法向量，做过两平面交线的中间面，如果两法向量指向中间面的同一侧，则二面角为法向量的夹角的负值，如果两法向量指向中间面的不同侧，则二面角就为法向量的夹角。

2、在处理线性分子时，使用虚原子主要目的是：1) 避免键角180o或接近180o，无法形成有效二面角；2) 保持分子对称性需要；3)利用实验数据来处理些特殊问题。

3、以呋喃为例说明如何通过变量设置来控制分子的对称性。

在呋喃分子中键长中O1-C2=O1-C3=r1,C2-C4=C3-C5= r2，C2 –H6=C3 –H7=r3，C4-H8= C5-H9=r4；键角O1-C2-C4=O1-C3-C5=108.0，O1-C2-H6=O1-C3-H7=120.0°，C4-C2-H6= C5-C3-H7=132.0°，C2-C4-H8=C3-C5-H9=127.0°可控制分子对称性

为C

2v 。但当其中一个等式不成立时，呋喃的分子对称性就为C

。

4、在程序运行时发生中断的可能原因有：大小写的重复赋值，出现未定义的量，输入格式不正确等。处理办法是结束程序后检查自己输入的文档有何错误，是否出现未定义的量，格式是否正确，内坐标是否表达正确，定量的值是否有误等情况，改正后重新运行程序

简化解析几何运算的技巧

简化解析几何运算的技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上． [典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2 ＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ， B 分别是 C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A.2 B.3 C.32 D.6 2 答案：D [方法演示] 解析：由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得???? ? |AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝ 32＝6 2 . [解题师说] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量． [应用体验] 1．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF | |P A |的最小值为 ________．

计算几何基础知识整理

计算几何基础知识整理一、序言计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。二、本基础目录本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容： 1. 矢量的概念 2. 矢量加减法 3. 矢量叉积 4. 折线段的拐向判断 5. 判断点是否在线段上 6. 判断两线段是否相交 7. 判断线段和直线是否相交 8. 判断矩形是否包含点 9. 判断线段、折线、多边形是否在矩形中 10. 判断矩形是否在矩形中 11. 判断圆是否在矩形中 12. 判断点是否在多边形中 13. 判断线段是否在多边形内 14. 判断折线是否在多边形内 15. 判断多边形是否在多边形内 16. 判断矩形是否在多边形内 17. 判断圆是否在多边形内 18. 判断点是否在圆内 19. 判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内 20. 判断圆是否在圆内 21. 计算点到线段的最近点 22. 计算点到折线、矩形、多边形的最近点 23. 计算点到圆的最近距离及交点坐标 24. 计算两条共线的线段的交点 25. 计算线段或直线与线段的交点 26. 求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点 27. 求线段或直线与圆的交点 28. 凸包的概念 29. 凸包的求法三、算法介绍 1.矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。又k y y x x y x = --=--12121 2 ，代入得2402 2 x y x y --+=。当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ；（2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

GIS算法的计算几何基础

GIS算法的计算几何基础矢量的概念：如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。矢量加减法：设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为： P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。显然有性质 P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。矢量叉积：计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P × Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。显然有性质P × Q = - ( Q × P ) 和P × ( - Q ) = - ( P × Q )。两点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系：若P × Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。若P × Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。若P × Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。折线段的拐向判断：折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。对于有公共端点的线段p0p1和p1p2，通过计算(p2 - p0) × (p1 - p0)的符号便可以确定折线段的拐向：若(p2 - p0) × (p1 - p0) > 0,则p0p1在p1点拐向右侧后得到p1p2。若(p2 - p0) × (p1 - p0) < 0,则p0p1在p1点拐向左侧后得到p1p2。

解析几何中计算方法与技巧

解析几何中计算方法与技巧高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力,常规的解题方法必须熟练掌握,在此基础上积累计算经验，掌握计算技巧，则解析几何定可得到高分。一、巧用韦达定理简化运算 1、过二次曲线C 上一点P （x 0，y 0）作直线l ，求l 与C 另一交点。例1：求直线y=kx+22－k 与椭圆22x +y 2 =1的交点坐标。 2、合二为一的整体运算例2：过点P （-1，2）作圆C ：（x-1）2+y 2=1的两条切线，求两条切线的斜率和。例3：过点P （x 0，-4 1 ）作抛物线y=x 2的两条切线，求证：切点弦过定点。例4：抛物线y 2=2x 上动点P ，过点P 作⊙C ：（x-1）2+y 2=1的切线PM ，PN 分别交y 轴于M ，N 两点，求△PMN 面积的最小值。例5：过抛物线x 2=2y 的焦点作斜率分别为k 1、k 2的两条直线l 1和l 2，若l 1交抛物线于A 、B 两点，l 2交抛物线于C 、D 两点。以线段AB 为直径作圆C 1，以CD 为直径作圆C 2。若k 1+k 2=2，求两圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程。二、利用计算的对称性避免重复运算引例：过原点O 作抛物线y 2=2px 的两条互相垂直的弦OA 与OB ，求证：AB 直线过定点。例1：设椭圆E ：22x +y 2 =1上一点A （1，2 2），过A 作两条关于平行y 轴的直线对称的两条直线AC ，AD 交椭圆E 于另两点C 和D 。求证：CD 直线的方向确定。例2：设曲线C 1：4 2x +y 2 =1与曲线C 2：y=x 2-1。C 2的顶点为M ，过原点O 的直线l 与 C 2相交于A 、B 两点，直线MA 、MB 分别与C 1相交于 D 、 E 。（1）证明：MD ⊥ME ；（2）若△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，问是否存在直线l 使得21S S =32 17？

减少解析几何计算量的十种方法

减少解几试题计算量的十种方法 —高考对策之一在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是：（1）设而不求. 【题1】（湖北黄冈，元月考，10题）已知直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 ( ) A.6x －5y －28=0 B.6x +5y －28=0 C.5x +6y －28=0 D.5x －6y －28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边MN 的中点坐标，那么求直线l 的方程，关键在求该直线的斜率. 若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是：【解析】由22 2 2 458012016 x y x y +=? +=.∴椭圆上顶点 B （0，4）,右焦点F （2,0）.为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C （3，-2）. 设直线l 的斜率为k.，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，∴221122 224580 4580 x y x y ?+=??+=? ()()()()12121212121212124466 4505545 y y x x x x x x y y y y k x x y y -+-++-+=?= =-?=-?=-+- 所求直线方程为()6 23652805 y x x y += -?--=，选A. 【评注】我们用参数设置了M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求. （2）使用特值【题2】（湖北重点中学4月联考，理科8题）在离心率为65的双曲线()22 2210x y a b a b -=>>中，F 为右焦点，过F 点倾斜角为60゜的直线与双曲线右支相交于A,B 两点，且点A 在第一象限，若,AF mFB = 则 m =（） x y O B 04(,) M N F 20(,) C 32(,-) 图1

解析几何种技巧(终审稿)

解析几何种技巧文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

本文节选自《试题调研》数学第2辑的“热点关注”，敬请品读（版权所有，转载请注明出处）。陕西胡波从近几年全国各省市新课标高考试题来看，解析几何主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的基本知识等，在选择题、填空题、解答题中都有出现，一般试卷出现3小题1大题.综合类试题多涉及函数、导数、方程、不等式、平面向量、平面几何等知识，所考查的知识点较多，试题难度中等偏上.试题往往会出现计算量较大的情况，怎样在解题中巧妙地降低计算量、减少运算错误是我们广大考生在学习中要体会和感悟的.下面通过一些典型例题的解析，说明解析几何中的解题技巧,以供读者参考学习. 1.活用定义返璞归真圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性.许多性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简. 2.活用平几峰回路转解决解析几何问题时，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，这对于运算能力稍差的同学，很难准

确迅速求解.若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用相关性质来解决问题，常常可以峰回路转，达到巧妙解题的效果. 【点评】本题重点考查运算能力，这对考生提出了较高的要求.通过对比上述通法与巧法，读者很容易看出：运用平面图形的有关几何性质来解决一些解析几何问题，可以有效地避免复杂的代数运算，达到简捷解题的目的. 3.巧设坐标?水到渠成【点评】本题如果按常规设点Q(x,y),必将得到一个二元二次方程组,这将加大计算量,使问题复杂化. 4.数形结合一目了然】 … 5.引进参数柳暗花明 … 6.设而不求欲擒故纵 … 7.整体代换绝处逢生 … 8.引入向量轻车熟路 … 更多有关解析几何的解题技巧详见《试题调研》第2辑—三角函数、平面向量、解析几何。本辑定会让你识得了三角、解得了几何、破得了向量，真正做到好题先体验，笑在百花前！

几何计算公式大全

几何体计算公式大全长方形的面积=长×宽长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= (长×宽+长×高＋宽×高)×2 长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C与面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a与b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长

d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a与b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径 S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形名称符号面积S与体积V 正方体a－边长S＝6a2 V＝a3 长方体a－长 b－宽 c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积 h－高V＝Sh 棱锥S－底面积 h－高V＝Sh/3 棱台S1与S2－上、下底面积 h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积

解析几何简化运算的几种方法(含答案)

博文教育讲义课题：简化解析几何运算方法教学目标：提高学生简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结教学重点：简化运算方法归纳教学难点：有关的规律总结与运用教学过程：解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。 1.回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。例1 过椭圆左焦点倾斜角为 60的直线交椭圆于点B A ,且FB FA 2=，则此椭圆离心率为._____ 解析本题的常规解法是：联立?? ?? ?+==+)(3,122 22c x y b y a x 再结合条件FB FA 2=求解，运算量大，作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解： )2(31)(31B B A A B B A A B B FM '+'='-'+'= )2(31e BF e AF +=，另一方面，在F C B Rt '?中C F BF C BF '=?='∠260 , 故.2 BF e BF M C C F FM += '+'=于是 =+)2(31e BF e AF 2 BF e BF FM +=，又FB FA 2=，所以可得.3 2 =e 练习：设12F F ，是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 () 220.OP OF F P +?= （O 为坐标原点），且123PF PF = ，则双曲线的离心率是（） 32 31. .32. .312 2 A B C D ++++ 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，2=,OP OF OQ + 2OQ F P ∴⊥ 2OQ F P 且必过的中点.可知12PF F ?为直角三角形. 这就为用定义法求离心率创造了条件. 【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令 ( ) 21=,3,231PF r PF r a r =∴= - 则，1290,F PF ∠=?但是 O A B A ' B 'F x y M 1 图C C 'x y P O F 1 F 2 Q M

小学几何图形基本概念及计算公式

小学几何图形基本概念及计算公式轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折,直线左右的两部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.长方形（2条对称轴）,正方形（4条对称轴）,等腰三角形（1条）,等边三角形（3条）,等腰直角三角形（1条）,等腰梯形（1条）,圆（无数条）. 点：线和线相交于点. 直线：某点在空间中或平面上沿着一定方向和相反方向运动,所画成的图形,叫做直线.直线是向相反方向无限延伸的,所以它没有端点,不可以度量. （可以用表示直线上任意两点的大写字母来记：直线AB,也可以用一个小写字母来表示：直线a) 射线：由一个定点出发,向沿着一定的方向运动的点的轨迹,叫做射线.这个定点叫做射线的端点,这个端点也叫原点.射线只有一个端点,可以向一端无限延长，不可以度量.（射线可以用表示他端点,和射线上任意一点的两个大写字母表示：射线OA）

线段：直线上任意两点间的部分,叫做线段.这两点叫做线段的端点,线段有长度,可以度量.（线段可以用两个端点的大写字母表示：线段AB,也可以用一个小写字母表示；线段a）线段的性质：在连接两点的所有线中,线段最短. 角：从一点引出两条射线所组成的图形,叫做角.这两条射线的公共端点,叫做角的顶点.组成角的两条射线,叫做角的边. 角的大小与夹角两边的长短无关. 角的分类：直角：90度的角叫做直角平角：一条射线由原来的位置,绕它的端点按逆时针方向旋转,到所成的角的终边和始边成一直为止,这时所成的角叫做平角.或者角的两边的方向相反,且同在一条直线上时的角叫做平角,平角是180度. 锐角：小于90度的角叫做锐角钝角：大于90度的角叫做钝角垂直与平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行. 如果两条直线相交成

2.解析几何中的基本计算

§2解析几何中的基本计算平面上 d = ( X 2 - Xj $ (y 2 - y i 尸空间中 d= (x 2 - X 1) (y 2-y i ) (Z 2-Z 1) x 「 x 2 1 ■ y i y 2 i ■ (a ) 4 (b) M(x, y, z)为 A 1A 2 的分点，分割比例一 A I M MA 2 x = X 1 + Ax 2 1 +九 y 1 + A y * y = 1 +几 Z = z 1 +X z 2 1 +丸空间中 ''一°° < k < 旳 L 人丰-1 入＞0称为内分，■:：： 0称为外分.入=1时, x 1 x 2 x 二 ---- y 1 y 2 乙 Z 2 z 二 ---- M 为A 1A 2的中点: 平面上［两点间的距［分线段为定比的分点坐标］ L'

［平面上三角形的面积］ O\ A 1, A 2, A 3构成逆时针回路［平面上多角形的面积］ 8⑷ A 1, A 2,…,A n 构成逆时针回路［空间中四面体的体积］ h ］曲 4任1?v lf 7 这里 MA, MA 2 , MA 3 构成右手系［二面角的角度］ M o , M i , A i , A 为空间中 s = 1 S A =— 2 X 1 y 1 1 X 2 y 2 1 X 3 y 1 当S A =0时，A l , A 2, A 三点共线 s=-f X 1 y 1 + X 2 y 2 +…+ X n y n 2 Q X 2 y 2 X 3 y 3 X 1 y 1 J 当S =0时，A 1, A 2,…,A n n 个点共线 1 V=- 6 X 1 X 2 X 3 y y 1 y 2 y 3 Z 1 Z 2 Z 3 1 1 1 1 x -x 1 x -x 2 X 一 X 3 y - y i y - y 2 y 一 y 3 z 「Z 1 z - Z 2 Z —Z 3 当V =0时, M, A i , A 2, A 四个点共面 cosE = (M o M XM 0A) '(M o M XM 0A 2) M 0M 沃 MoA M 0M 江 M 0A 2 当M o 为原点，MoA 为x 轴的正向，M 0A 2为y 轴的正向时, 则 xy 2 2、 X ) 当M o 为原点时，M 0A 为x 轴的正向时，则 cos--- 2 2 y z)(z

几何图形及计算公式

一。几何图形及计算公式

平面几何图形和立体几何图形。包括面积体积表面积等等公式三角形面积 1）S=1/2底*高 2）S=1/2*意两边的乘积*这两边夹角的正弦值（已知两边及其夹角的大小） 3）S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)---------------------(海伦公式：已知三边的长，p=周长/2）分类：钝角直角锐角特例:等边三角形：S=四分之一倍根号三*边长的平方

等腰直角三角形：S=1/2倍直角边的平方注：顶角为36°的等腰三角形也很重要性质：正弦定理： sinA/a=sinB/b=sinc/C 余弦定理： a^2=b^2+c^2-2bc cosA b^2=a^2+c^2-2ac cosB c^2=a^2+b^2-2ab cosA 三角形2条边向加大于第三边. 三角形内角和=180度四边形梯形：S=（上底+下底）*高/2 平行四边形：S=底*高长方形：S=长*宽正方形：S=边长*边长内角和为360° 多边形：内角和为（n-2)*180° 面积：具体问题具体分析（可用切割法划为简单图形计算）圆：s=πr^2 周长=2πr 性质：园内以直径为一边的圆周三角形为直角三角形，且直径所对的角为直角相同弧长所对的圆心角为其圆周角的两倍弦切角=圆周角=1/2圆心角过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直

立体棱柱：V=底面积*高（四棱柱可切为6个三棱锥）椎体：V=C底面积*高（C为一常数，三棱柱时为1/3;正三棱锥很重要）球：S=4πr^2 V=4/3倍πr^3 提问人的追问 2010-01-03 16:18 很清晰。但好像还不是很完整，比如说扇形的，还有椎体，台体。还有像问一下，椎体哪里的c为一常数是怎么看的回答人的补充 2010-01-03 16:36 嗯~2扇形：S=顶角/360°*（πr^2）弓形：S=相应扇形的面积-相应三角形的面积椎体体积的计算时始终记住底面积乘以高然后根据其特点确定C （因为底面积乘以高为四棱柱的体积所以只要确定几个这样的椎体构成一个四棱柱则 C=1/n)上面那个地方写错了应该是1/6 更为复杂的立体一定要用切割法或是互补法几年没碰过了忘了好多还有什么遗漏的告诉我我再看一下能不能记起提问人的追问 2010-01-03 16:43 弧长公式。用不同的公式表示回答人的补充 2010-01-03 16:54 因弧度数=弧长/半径所以1）弧长=弧度*半径又 2）弧长=（圆心角/360°）*周长 3）在物理方面弧长=角速度*半径*时间提问人的追问 2010-01-03 17:18 弦切角=圆周角=1/2圆心角可以帮我画个图吗回答人的补充 2010-01-03 17:34

直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸计算教案

直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸计算课题：直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸计算（一）教学目的和要求：使学生掌握直齿圆柱齿轮几何要素的名称的代号，基本参数重点：基本参数难点：基本参数教学方法：讲解计划课时：2课时教学过程：复习：渐开线齿廓新授：一、直齿圆柱齿轮几何要素的名称的代号 1、端平面在圆柱齿轮上，垂直于齿轮轴线的表面 2、齿顶圆柱面、齿顶面。圆柱齿轮的齿顶曲面称为齿顶圆柱面。 d 在圆柱齿轮上，其齿顶圆柱面与端平面的交线称为齿顶圆。a 3、齿根圆柱面、齿根面。圆柱齿轮的齿根曲面称为齿根圆柱面。 d 在圆柱齿轮上，其齿根圆柱面与端平面的交线称为齿根圆。f 4、分度圆柱面、分度圆。圆柱齿轮的分度曲面称为分度圆柱面。在圆柱齿轮上，其分度圆柱面与端平面的交线称为分度圆。d 5、齿宽。齿轮的有齿的部分沿分度圆柱面的直母线方向量度的宽度称为齿宽。b 6、端面齿距。 p 7、端面齿厚。 s 8、端面齿槽宽。 e 9、齿顶高。 h a 10、齿根高。 h f 二、直齿圆柱齿轮的基本参数 1、齿数z 一个齿轮的轮齿总数叫做齿数 2、模数m 齿距除以圆周率π所得到的商称为模数。单位为mm。模数是齿轮几何尺寸计算中最基本的一个参数。模数的大小反映了齿距的大小，也就是反映了轮齿的大小。 3、齿形角对于渐开线齿轮，通常所说的齿形角是指分度圆上的齿形角。 α =20 ?

4、齿顶高系数*a h 齿顶高与模数之比值称为齿顶高系数。 m h h a a *= 标准直齿圆柱齿轮的齿顶高系数1*=a h 5、顶隙系数*c 一齿轮的齿顶与另一齿轮的槽底间的径向间隙，称为顶隙。 m c c *= 所以： m c h c h h a a f )(**+=+= 标准直齿圆柱齿轮的顶隙系数25.0*=c 。小结：基本参数作业：P71 课题：直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸计算（二）教学目的和要求：标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算重点：标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算难点：标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算教学方法：讲解计划课时：2课时三、标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算采用标准模数m ，齿形角?=20α，齿顶高系数1* =a h ，顶隙系数25.0*=c ，端面齿厚s 等于端面齿槽宽e 的渐开线直齿圆柱齿轮称为标准直齿圆柱齿轮，简称标准直齿轮。标准直齿轮几何要素的名称、代号、定义和计算公式参见教材P48表3－5 例1：一对相啮合的标准直齿圆柱齿轮，已知齿数1224,40z z ==，模数5m mm =。试计算其分度圆直径，齿顶圆直径，齿根圆直径，基圆直径，齿距，齿厚，齿顶高，齿根高和中心距。解：略（详细板书）例2：已知一标准直齿圆柱齿轮的齿数36z =，顶圆直径304a d mm =。试计算其分度圆直径，根圆直径，齿距以及齿高。例3：已知一标准直齿圆柱齿轮副，其传动比3i =，主动齿轮转速1750/min n r =，中心距240a mm =，模数5m mm =。试求从动轮转速以及两齿轮齿数和。练习1：已知一标准直齿圆柱齿轮的齿数42z =，齿顶圆直径264a d mm =。试确定其分度

高中数学解析几何优化计算6大技巧

解析几何优化计算6大技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技巧一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．【例题】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24y 2 ＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1， C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A.2 B.3 C.32 D.62 【解析】由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知， 1|＋|AF 2|＝4，2|－|AF 1|＝2a ， 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62 .【答案】D [关键点拨] 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1 |，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．

解析几何公式大全

解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。

计算几何常用函数

目录㈠点的基本运算 1. 平面上两点之间距离 1 2. 判断两点是否重合 1 3. 矢量叉乘 1 4. 矢量点乘 2 5. 判断点是否在线段上 2 6. 求一点饶某点旋转后的坐标 2 7. 求矢量夹角 2 ㈡线段及直线的基本运算 1. 点与线段的关系 3 2. 求点到线段所在直线垂线的垂足 4 3. 点到线段的最近点 4 4. 点到线段所在直线的距离 4 5. 点到折线集的最近距离 4 6. 判断圆是否在多边形内 5 7. 求矢量夹角余弦 5 8. 求线段之间的夹角 5 9. 判断线段是否相交 6 10.判断线段是否相交但不交在端点处 6 11.求线段所在直线的方程 6 12.求直线的斜率 7 13.求直线的倾斜角 7 14.求点关于某直线的对称点 7 15.判断两条直线是否相交及求直线交点 7 16.判断线段是否相交，如果相交返回交点 7 ㈢多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 8 2. 检查多边形顶点的凸凹性 9 3. 判断多边形是否凸多边形 9 4. 求多边形面积 9 5. 判断多边形顶点的排列方向，方法一 10 6. 判断多边形顶点的排列方向，方法二 10 7. 射线法判断点是否在多边形内 10 8. 判断点是否在凸多边形内 11 9. 寻找点集的graham算法 12 10.寻找点集凸包的卷包裹法 13 11.判断线段是否在多边形内 14 12.求简单多边形的重心 15 13.求凸多边形的重心 17 14.求肯定在给定多边形内的一个点 17 15.求从多边形外一点出发到该多边形的切线 18

16.判断多边形的核是否存在 19 ㈣圆的基本运算 1 .点是否在圆内 20 2 .求不共线的三点所确定的圆 21 ㈤矩形的基本运算 1.已知矩形三点坐标，求第4点坐标 22 ㈥常用算法的描述 22 ㈦补充 1．两圆关系： 24 2．判断圆是否在矩形内： 24 3．点到平面的距离： 25 4．点是否在直线同侧： 25 5．镜面反射线： 25 6．矩形包含： 26 7．两圆交点： 27 8．两圆公共面积： 28 9. 圆和直线关系： 29 10. 内切圆： 30 11. 求切点： 31 12. 线段的左右旋： 31 13．公式： 32 代码: /* 需要包含的头文件 */ #include /* 常用的常量定义 */ const double INF = 1E200 const double EP = 1E-10 const int MAXV = 300 const double PI = 3.14159265 /* 基本几何结构 */ struct POINT { double x; double y; POINT(double a=0, double b=0) { x=a; y=b;} //constructo

高考专题：解析几何常规题型及方法

高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分” 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。三、高考核心考点 1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11， (,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数及几何尺寸计算

渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数及几何尺寸计算 12.3.1 齿轮各部分名称及符号此主题相关图片如下：此主题相关图片如下：此主题相关图片如下：此主题相关图片如下：554554.jpg

12.3.2 渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数及几何尺寸计算 1 模数齿轮圆周上轮齿的数目称为齿数，用z表示。根据齿距的定义知此主题相关图片如下： 2 压力角此主题相关图片如下：

此主题相关图片如下： 3 齿数 4 齿顶高系数 h a =h a *m （h a *=1） 5 顶隙系数 c=c*m (c*=0.25) h f =(h a *+c*)m 全齿高 h=h a +h f =(2h a *+c*)m 此主题相关图片如下：

标准齿轮是指模数、压力角、齿顶高系数和顶隙系数均为标准值，且分度圆上的齿厚等于齿槽宽的齿轮。表12-2 标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸计算公式此主题相关图片如下：

4. 内齿轮与齿条图示为一内齿圆柱齿轮，内齿轮的轮齿是分布在空心圆柱体的内表面上。与外齿轮相比有下列几个不同点： 1）内齿轮的齿厚相当于外齿轮的齿槽宽，内齿轮的齿槽宽相当于外齿轮的齿厚。 2）内齿轮的齿顶圆在它的分度圆之内，齿根圆在它的分度圆以外。图示为一齿条，它可以看作齿轮的一种特殊型式。与齿轮相比有下列两个主要特点： 1）由于齿条的齿廓是直线，所以齿廓上各点的法线是平行的；传动时齿条是直线移动的，故各点的速度大小和方向均相同；齿条齿廓上各点的压力角也都相同，等于齿廓的倾斜角。 2）与分度线相平行的各直线上的齿距都相等。此主题相关图片如下：

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