2012年南京理工大学硕士研究生 《矩阵分析与计算》考试(B 卷)参考答案
23211 (15 )
||=(1)(2) 100 010002 1, 1, 2
()(1)(2), ()1, ()1
A A I A J d d d λλλλλλλλλλλλ∴--+??
??
∴=??-????
--+=-+=-= 解分是实对称矩阵可对角化若当标准形 初等因子是 不变因子是
2 (10 )
()2 1 ( )0.7<1
A A
B B ρρ=>∴=∴ 解分不是收敛矩阵是收敛矩阵
[]3 (15 )
1111002220111001
11 1010100102221100011
11001
22
2111222111 2221112
22
A I H I S ?
?-??-???
?????=-→-
?????????????
?
??-??????∴==-
??????
??解分
4 (10 )
A A AI ∴= 解分满秩
5 (15 ) 1
01011 ==0
1011122542145211 29902732114
12011202111 ()3931A FG A AA b b A b I A A y ++++??
-?????
?????????
-??
-??
??
-????=
=≠??
-??????????
∴--????--??+-=+??????解分无解最小二乘解为41 R 11101101121
391y y A b +?????
??∈-????--??-??????
=??????
极小范数最小二乘解为
22126 (10 )6
cos 2cos1cos2 '()= ()1ln 2
t
t A t A t dt e e e t ??
-????=????--??
?
?
?解分
7 解(10分)
123230511562156230511232305130511351350505 33334520200-1335????????→???????????????
?
???????
?????
→→?
????????????
???
[]
1
2
3955222T
T
x x x ??
∴=-????
8 解(15分)
(1)()()
1
23(1)()
21(1)()()312:1(12)5
1(2)
31(32)4k k k k k k k k Jacobi x x x x x x x x +++?=+-??
?=-??
?=-+??
∴ 迭代格式系数矩阵是严格对角占优矩阵收敛
(1)()()1
23(1)(1)
21
(1)(1)(1)312:
1(12)5
1(2)31(32)4k k k k k k k k Seidel x x x x x x x x ++++++?=+-??
?=-??
?=-+??
∴ 迭代格式系数矩阵是严格对角占优矩阵
收敛
期末考试试卷(A 卷) 2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。 ( ) 2. 为了减少误差,进行计算。 ( ) 3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。 ( ) 4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。( ) 5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关,与常数项无关。 ( ) 二、填空题(每空2分,共36分) 1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____,2x =______,Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
华南理工大学研究生课程考试题(A) 《矩阵分析》2016年12月 姓名院(系)学号成绩 注意事项:1.考试形式:闭卷(√)开卷() 2.考生类别:博士研究生()硕士研究生(√)专业学位研究生() 3.本试卷共四大题,满分100分,考试时间为150分钟。 一、单项选择题(每小题3分,共15分): 1、设,,是的两个不相同的真子空间,则下列不能构成子空间的是。(A);(B);(C);(D)。 2、设,为阶酉矩阵,则下列矩阵为酉矩阵的是。 (A);(B);(C);(D)。 3、设矩阵的秩为,则下列说法正确的是。 (A)的所有阶子式不等于0;(B)的所有阶子式等于0; (C)的阶子式不全为0;(D)的阶子式不全为0。 4、下列命题不正确的是。 (A)行数相同的两个矩阵一定存在最大右公因子; (B)列数相同的两个矩阵一定存在最大右公因子。 (C)特征多项式的根一定是最小多项式的根; (D)最小多项式的根一定是特征多项式的根; 5、设,则。 (A)1;(B);(C);(D)。 二、填空题(每小题3分,共15分): 1、设,,和,,是的
两个基,则从第一个基到第二个基的的过渡矩阵为 。 2、实线性空间的映射称为内积运算,如果满足下列条件: 。 3、奇异值分解定理内容为 。 4、设,则。 5、设,则。 三、计算题(每小题14分,共56分): 1、设,,;,, ,。求和的一个基。
2、求欧氏空间的一个标准正交基(从基,,,出发),内积定义为 。
3、求的若当标准形和可逆矩阵, 并计算。
4、1)写出的求解公式。 2)已知,计算。
四、证明题(第一小题8分,第二小题6分,共14分): 1、设,是维线性空间,证明都。 2、设方阵满足,且,证明。
错误! 2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 一、(共30分,每小题6分)完成下列各题: (1)设4R 空间中的向量????????????=23121α,????????????--=32232α,????????????=78013α,????????????--=43234α,???? ? ? ??????--=30475α Span V =1{}321,,ααα,Span V =2 {}54,αα,分别求21V V +和21V V 的维数. 解:=A {}54321,,,,ααααα? ? ??? ? ??? ???--→000004100030110 202 01 21V V +和21V V 的维数为3和1 (2) 设()T i i 11-=α,()T i i 11-=β是酉空间中两向量,求内积()βα, 及它们的长度(i =). (0, 2, 2); (3)求矩阵?? ??? ?????----=137723521111A 的满秩分解. 解:?? ?? ? ?????----=137723521111A ??????? ? ??? ????? -- --→0000747510737201
??????????----=137723521111A ??????????--=775211??????? ? ?? ??? ??? ----747 510737201* (4)设-λ矩阵??? ? ? ??++=2)1(0000 00 )1()(λλλλλA ,求)(λA 的Sm ith 标准形及其行列式因子. 解:????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()??? ? ? ??++→2111λλλλ (5)设*A 是矩阵范数,给定一个非零向量α,定义 * H x x α=,验证x 是向量 范数. 二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为?? ?? ? ?????-=021110111A , (1)(5分)求T 的值域)(T R 的维数及一组基; (2)(5分)求T 的核)(T N 的维数及一组基. 解:(1)由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]?? ?? ? ?????-021110111,,321εεε 线性变换T的值域为T(V)= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V)的维数为2, 基为{}321312,εεεεε+++ (2)矩阵A的核为AX=0的解空间。不难求得AX=0的基础解系是[2, -1, 1]T , 因此)(A N 的维数为1, 基为3212εεε+-.
第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵,在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= (1) 证明在上述定义下,n C 是酉空间; (2) 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ,求()N A 的标准正交基。 提示:即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ,使得H U AU 是上三角矩阵。 提示:参见教材上的例子 4、 试证:在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵,并求酉矩阵U ,使H U AU 为对角矩阵,已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????,434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ,使T Q AQ 为对角矩阵,已知
220(1)212020A -????=--????-?? ,11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ,使H P AP E =(或T P AP E =),已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??,222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-,试证:矩阵E U +满秩,且1 ()() H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之,若H 是Hermite 矩阵,则E iH +满秩,且1 ()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明:若||0+=E U ,观察0-=E U λ知1-为U 的特征值,矛盾,所以矩阵E U +满 秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ,要H H H =,只要 ()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ,即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵,且det()0E T iS --≠,试证: 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明: 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E
华南农业大学期末考试试卷(A卷) 2008学年第一学期考试科目:算法分析与设计 考试类型:(闭卷)考试时间:120分钟 学号姓名年级专业 一、选择题(20分,每题2分) 1.下述表达不正确的是。 A.n2/2 + 2n的渐进表达式上界函数是O(2n) B.n2/2 + 2n的渐进表达式下界函数是Ω(2n) C.logn3的渐进表达式上界函数是O(logn) D.logn3的渐进表达式下界函数是Ω(n3) 2.当输入规模为n时,算法增长率最大的是。 A.5n B.20log2n C.2n2D.3nlog3n 3.T(n)表示当输入规模为n时的算法效率,以下算法效率最优的是。A.T(n)= T(n – 1)+1,T(1)=1 B.T(n)= 2n2 C.T(n)= T(n/2)+1,T(1)=1 D.T(n)= 3nlog2n 4.在棋盘覆盖问题中,对于2k×2k的特殊棋盘(有一个特殊方块),所需的L型骨 牌的个数是。 A.(4k– 1)/3 B.2k /3 C.4k D.2k 5.在寻找n个元素中第k小元素问题中,若使用快速排序算法思想,运用分治算法 对n个元素进行划分,应如何选择划分基准?下面答案解释最合理。A.随机选择一个元素作为划分基准 B.取子序列的第一个元素作为划分基准 C.用中位数的中位数方法寻找划分基准 D.以上皆可行。但不同方法,算法复杂度上界可能不同
6. 现在要盖一所邮局为这9个村庄服务,请问邮局应该盖在 才能使到邮局到这9个村庄的总距离和最短。 A .(4.5,0) B .(4.5,4.5) C .(5,5) D .(5,0) 7. n 个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水,水桶有大有小,水桶必须打满水, 水流恒定。如下 说法不正确? A .让水桶大的人先打水,可以使得每个人排队时间之和最小 B .让水桶小的人先打水,可以使得每个人排队时间之和最小 C .让水桶小的人先打水,在某个确定的时间t 内,可以让尽可能多的人打上水 D .若要在尽可能短的时间内,n 个人都打完水,按照什么顺序其实都一样 8. 分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题,分 别解决子问题,最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。这要求原问题和子问题 。 A .问题规模相同,问题性质相同 B .问题规模相同,问题性质不同 C .问题规模不同,问题性质相同 D .问题规模不同,问题性质不同 9. 对布线问题,以下 是不正确描述。 A .布线问题的解空间是一个图 B .可以对方格阵列四周设置围墙,即增设标记的附加方格的预处理,使得算法简化对边界的判定 C .采用广度优先的标号法找到从起点到终点的布线方案(这个方案如果存在的话)不一定是最短的 D .采用先入先出的队列作为活结点表,以终点b 为扩展结点或活结点队列为空作为算法结束条件 10. 对于含有n 个元素的子集树问题,最坏情况下其解空间的叶结点数目为 。 A .n! B .2n C .2n+1-1 D . ∑=n i i n 1 !/! 答案:DACAD CACCB
矩阵分析模拟试题及答案 一.填空题(每空3分,共15分) 1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24. 2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α,T )5,4,3,2(2=α,T )6,5,4,3(3=α,T )7,6,5,4(4=α,则 ),,,(4321ααααR =2. 3. 已知??? ?? ??---=11332 223a A ,B 是3阶非零矩阵,且0=AB ,则=a 1/3. 4.设矩阵????? ??------=12422 421x A 与??? ? ? ??-=Λ40000005y 相似,则y x -=-1. 5. 若二次型()32212 3222132122, ,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型,则a 的取值 范围是22< <-a . 二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A 是3阶矩阵,将的第二列加到第一列得矩阵,再交换的第二行与第三行得单位矩阵, 记????? ??=1000110011P ,??? ?? ??=010*******P ,在则=A ( D ) 21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D 2. 设A 是4阶矩阵,且A 的行列式0=A ,则A 中( C ) )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例 )(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合 3. 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1 )2(-B 的特 征值为(B ) )(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2 3
2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 学号 姓名 一、(共30分,每小题6分)完成下列各题: (1)设4 R 空间中的向量????????????=23121α,????????????--=32232α,????????????=78013α,???? ?? ??????--=43234α, ????? ? ??????--=30475α Span V =1{}321,,ααα,Span V =2{}54,αα,分别求21V V +和21V V 的 维数. 解:=A {} 54321,,,,ααααα? ? ??? ? ??? ???--→000004100030110 202 01 21V V +和21V V 的维数为 3和1 (2) 设() T i i 11-=α,() T i i 11-=β是酉空间中两向量,求 内积()βα, 与它们的长度(i = . (0, 2, 2); (3)求矩阵?? ?? ? ?????----=137723521111A 的满秩分解.
解:?? ?? ? ?????----=137723521111A ??????? ? ??? ???? ? -- --→0000747510737201 ??????????----=137723521111A ??????????--=775211??????? ??? ??? ?? ? ----747 510737201* (4)设-λ矩阵???? ? ??++=2)1(000000 )1()(λλλλλA ,求)(λA 的标准形与其 行列式因子. 解:????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()??? ? ? ??++→2111λλλλ (5)设*A 是矩阵范数,给定一个非零向量α,定义 *H x x α=, 验证x 是向量范数. 二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为 ?? ?? ? ?????-=021110111A , (1)(5分)求T 的值域)(T R 的维数与一组基; (2)(5分)求T 的核)(T N 的维数与一组基. 解:(1)由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]?? ?? ? ?????-021110111,,321εεε
§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积,这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式,一方面反映了原矩阵的某些数值特性,如矩阵的秩、特征值、奇异值等;另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据,因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便,这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵(或正交矩阵)与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积,这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手,进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,R 称为单位上三角复(实)矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,L 称为单位下三角复(实)矩阵。 定理1设,?∈n n n A C (下标表示秩)则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵,R 是正线上三角复矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵,L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵,R 是正线上三角实矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵,L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵,则存在唯一的正线上三角实矩阵R ,使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵,则存在唯一的正线上三角复矩阵R ,使得 =T A R R