数列单元测试题
一、选择题
1.若S n 是数列{a n }的前n 项和,且,2n S n =则}{n a 是 ( )
A .等比数列,但不是等差数列
B .等差数列,但不是等比数列
C .等差数列,而且也是等比数列
D .既非等比数列又非等差数列
2.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌
由1个可繁殖成 ( )
A .511个
B .512个
C .1023个
D .1024个 3.等差数列{a n }中,已知为则n a a a a n ,33,4,3
1
521==+= ( )
A .48
B .49
C .50
D .51
4.已知{a n }是等比数列,且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于 ( )
A .5
B .10
C .15
D .20
5.等比数列{a n }的首项a 1=1,公比q ≠1,如果a 1,a 2,a 3依次是某等差数列的第1,2,5项,则q 等于 ( ) A .2 B .3 C .-3 D .3或-3 6.等比数列{a n }的前3项的和等于首项的3倍,则该等比数列的公比为
( )
A .-2
B .1
C .-2或1
D .2或-1
7.已知方程0)2)(2(2
2
=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为
4
1
的等差数列,则=-||n m
( )
A .1
B .
4
3 C .
2
1 D .
8
3 8.数列{a n }中,已知S 1 =1, S 2=2 ,且S n +1-3S n +2S n -1 =0(n ∈N*),则此数列为( ) A .等差数列 B .等比数列
C .从第二项起为等差数列
D .从第二项起为等比数列
9.等比数列前n 项和为54,前2n 项和为60,则前3n 项和为 ( )
A .66
B .64
C .266
3 D .2
603
10.设等差数列{a n }的公差为d ,若它的前n 项和S n =-n 2,则
( )
A .a n =2n -1,d =-2
B .a n =2n -1,d =2
C .a n =-2n +1,d =-2
D .a n =-2n +1,d =2
11.数列{a n }的通项公式是a n =
1
1++n n (n ∈N*),若前n 项的和为10,则项数为( )
A .11
B .99
C .120
D .121
12.某人于2000年7月1日去银行存款a 元,存的是一年定期储蓄,计划2001年7月1日
将到期存款的本息一起取出再加a 元之后还存一年定期储蓄,此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款.设银行一年定期储蓄的年利率r 不变,则到2005年7月1日他将所有的存款和本息全部取出时,取出的钱共为 ( ) A .a (1+r )4元 B .a (1+r )5元
C .a (1+r )6元
D .
r
a
[(1+r )6-(1+r )]元 二、填空题:
13.设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项和,若{S n }是等差数列, 则q = .
14.设数列{}n a 满足121+-=+n n n na a a ,,,3,2,1 =n 当21=a 时, .
15.数列{}n a 的前n项的和S n =3n 2+ n +1,则此数列的通项公式a n =__ . 16.在等差数列}{n a 中,当s r a a =)(s r ≠时,}{n a 必定是常数数列.然而在等比数列}{n a
中,对某些正整数r 、s )(s r ≠,当s r a a =时,非常数数列}{n a 的一个例子是 ___ ___.
三、解答题:
17.已知:等差数列{n a }中,4a =14,前10项和18510=S . (1)求n a ;
(2)将{n a }中的第2项,第4项,…,第n
2项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前n 项和n G .
18.求下面各数列的和:
(1)111112123123n
+
+++++++++;
(2).21
225232132n
n -+
+++
19.数列{a n }满足a 1=1,a n =
2
1
a n -1+1(n ≥2) (1)若
b n =a n -2,求证{b n }为等比数列; (2)求{a n }的通项公式.
21.已知数列{}n a 是等差数列,且.12,23211=++=a a a a (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)令).(R x x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.
22.某房地产公司推出的售房有两套方案:一种是分期付款的方案,当年要求买房户首付3万元,然后从第二年起连续十年,每年付款8000元;另一种方案是一次性付款,优惠价为9万元,若一买房户有现金9万元可以用于购房,又考虑到另有一项投资年收益率为5%,他该采用哪种方案购房更合算?请说明理由.(参考数据 1.059≈1.551,
1.0510≈1.628)
参考答案
一、选择题:BBCAB CCDDC CD 二、填空题:13.1.14.1+=n a n )1(≥n .
15.??
?
??≥-==)
2(26)1(5
n n n a n
.16、)0(,,,,≠--a a a a a ,r 与s 同为奇数或偶数.
三、解答题:
17.解析:(1)由41014
185
a S =??=? ∴
11314,1101099185,2
a d a d +=???+???=??
15
3
a d =??
=? 由23,3)1(5+=∴?-+=n a n a n n
(1)设新数列为{n b },由已知,223+?=n n
b
.2)12(62)2222(3321n n G n n n +-=+++++=∴ *)(,62231N n n G n n ∈-+?=∴+ 18.解析:(1)
1
2)]111()3121()211[(2)111(2)1(23211+=
+-++-+-=+-=+=++++=
n n n n S n n n n n a n n 故
(本题用到的方法称为“裂项法”,把通项公式化为a n =f (n +1)-f (n )的形式)
(2)通项.)21()12(2
12n
n
n n n a ?-=-=呈“等差×等比”的形式, n
n n n S 21
2)21(231---=-
19.解析: (1)由a n =21a n -1+1得a n -2=2
1
(a n -1-2)
即
2
1
221=---n n a a ,(n ≥2)
∴{b n }为以-1为首项,公比为
2
1
的等比数列 (2)b n =(-1)( 21)n -1,即a n -2=-(21)n -
1
∴a n =2-(2
1)n -
1
20.解析:(1)由题设知每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列,设纯收入与年数的关系为()f n ,
∴[]9824098)48(161250)(2--=-++++-=n n n n n f , 获利即为()f n >0, ∴04920,09824022<+->--n n n n 即,
解之得:1010 2.217.1n n <<<<即,
又n ∈N , ∴n =3,4,…,17, ∴当n =3时即第3年开始获利; (1)(i)年平均收入=
)49
(240)(n
n n n f +-= ∵n n 49+
≥1449
2=?n
n ,当且仅当n =7时取“=”, ∴
n
n f )
(≤40-2×14=12(万元)即年平均收益,总收益为12×7+26=110万元,此时n =7. (ii)102)10(2)(2
+--=n n f ,∴当102)(,10max ==n f n
总收益为102+8=110万元,此时n =10,比较两种方案,总收益均为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,故选择第一种.
21.解析:设数列}{n a 公差为d ,则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a
所以.2n a n =(Ⅱ)解:令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得 ,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ① ,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ② 当1≠x 时,①式减去②式,得 ,21)
1(22)(2)1(11
2
++---=-++=-n n n n
n nx x
x x nx
x x x S x
所以.12)
1()1(21
2
x
nx x x x S n n n ----=+
当1=x 时, )1(242+=+++=n n n S n ,综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n
当1≠x 时,.12)
1()1(21
2
x nx x x x S n n n ----=+ 22.解析:如果分期付款,到第十一年付清后看其是否有结余,设首次付款后第n 年的结余
数为a n , ∵a 1=(9-3)×(1+0.5%)-0.8=6×1.05-0.8 a 2=(6×1.05-0.8)×1.05-0.8=6×1.052-0.8×(1+1.05) …… a 10=6×1.0510-0.8(1+1.05+…+1.059)
=6×1.0510
-0.8×1
05.11
05.110--
=6×1.0510-16×(1.0510-1) =16-10×1.0510
≈16-16.28=-0.28(万元) 所以一次性付款合算.