2.3 两角和与差的正切函数 课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用.
1.两角和与差的正切公式
(1)T (α+β):tan(α+β)=_____________________________________________________.
(2)T (α-β):tan(α-β)=_____________________________________________________.
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)T (α+β)的变形:
tan α+tan β=____________________________________________________________. tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=____________.
tan α·tan β=_____________________________________________________________.
(2)T (α-β)的变形:
tan α-tan β=___________________________________________________________. tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=____________.
tan αtan β=______________________________________________________________.
一、选择题
1.已知α∈????π2,π,sin α=35
,则tan ????α+π4的值等于( ) A .17 B .7 C .-17
D .-7 2.若sin α=45
,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tan β的值是( ) A .43 B .-43 C .-7 D .-17
3.已知tan α=12,tan β=13,0<α<π2,π<β<3π2
,则α+β的值是( ) A .π4 B .3π4 C .5π4 D .7π4
4.A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且tan A ,tan B 是方程3x 2-5x +1=0的两个实数根,则△ABC 是( )
A .钝角三角形
B .锐角三角形
C .直角三角形
D .无法确定
5.化简tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°的值等于( )
A .1
B .2
C .tan 10°
D .3tan 20°
6.在△ABC 中,角C =120°,tan A +tan B =233,则tan A tan B 的值为( ) A .14 B .13 C .12 D .53
二、填空题
7.1+tan 75°1-tan 75°
=________.
8.已知tan ???
?π4+α=2,则12sin αcos α+cos 2α
的值为________. 9.如果tan α,tan β是方程x 2-3x -3=0两根,则sin (α+β)cos (α-β)
=________. 10.已知α、β均为锐角,且tan β=cos α-sin αcos α+sin α
,则tan(α+β)=________.
三、解答题
11.在△ABC 中,tan B +tan C +3tan B tan C =3,且3tan A +3tan B +1=tan A tan B ,试判断△ABC 的形状.
12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分
别与单位圆相交于A ,B 两点,已知A ,B 的横坐标分别为210,255. 求tan(α+β)的值;
能力提升 13.已知tan(α-β)=12,tan β=-17
,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.
14.已知锐角三角形ABC 中,sin(A +B )=35,sin(A -B )=15
. (1)求证:tan A =2tan B ;
(2)设AB =3,求AB 边上的高.
1.公式T (α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α+β(或α-β)的终边不能落在y 轴上,即不为k π+π2
(k ∈Z ).
2.公式T (α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如tan π4=1,tan π6=33,tan π3
=3等.
要特别注意tan(π4+α)=1+tan α1-tan α,tan(π4-α)=1-tan α1+tan α
. 3.公式T (α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β,tan αtan β时,有灵活应用公式T (α±β)的意识,就不难想到解题思路.
2.3 两角和与差的正切函数 答案
知识梳理
1.(1)tan α+tan β1-tan αtan β (2)tan α-tan β1+tan αtan β
2.(1)tan(α+β)(1-tan αtan β) tan(α+β) 1-tan α+tan βtan (α+β)
(2)tan(α-β)(1+tan αtan β) tan(α-β) tan α-tan βtan (α-β)
-1 作业设计
1.A 2.C 3.C
4.A [tan A +tan B =53,tan A ·tan B =13,
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集, R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等
A B = 真子集 A ≠ ?B (或 B ≠ ?A ) B A ?,且B 中至少有一元素不属于A (1)A ≠ ??(A 为非空子 集) (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?,则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元 素都属于B ,B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ (1)A A A =I (2)A ?=?I (3)A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ (1)A A A =U (2)A A ?=U (3)A B A ?U A B B ?U B A
(北师大版)高一数学必修1全套教案
第一章集合 课题:§0 高中入学第一课(学法指导) 教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程: 一、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动, 圆满完成高中三年的学习任务,并祝愿同 学们取得优异成绩,实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定 一年,… 4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么 要学数学?如何学数学?高中数学知识结
构?新课程标准的基本思路?本期数学教 学、活动安排?作业要求? 二、几个问题: 1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业;及时复习。注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。 高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精通书本知识外,还要适当加大难度,即能够思考完成一些课后练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②),高一下期(必
修③、④),高二上期(必修⑤、选修系列), 高二下期(选修系列),高三年级:复习资 料。 知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4个系列,分别有2、3、6、10个模块)能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念: ①构建共同基础,提供发展平台;②提供多样课程,适应个性选择;③倡导积极主动、勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力;⑤发展学生的数学应用意识;⑥与时俱进地认识“双基”;⑦强调本质,注意适度形式化;⑧体现数学的文化价值;⑨注重信息技术与数学课程的整合;⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、②,共72课时,
北师大版《函数概念》说课教案 教材分析 一、本课时在教材中的地位及作用 教材采用北师大版(数学)必修1,函数作为初等数学的核心内容,贯穿于整个初等数学体系之中。本章节9个课时,函数这一章在高中数学中,起着承上启下的作用,它是对初中函数概念的承接与深化。在初中,只停留在具体的几个简单类型的函数上,把函数看成变量之间的依赖关系,而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,更是从“变量说”到“对应说”,这是对函数本质特征的进一步认识,也是学生认识上的一次飞跃。这一章内容渗透了函数的思想,集合的思想以及数学建模的思想等内容,这些内容的学习,无疑对学生今后的学习起着深刻的影响。 本节课《函数概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础,只有对概念做到深刻理解,才能正确灵活地加以应用。本课从集合间的对应来描绘函数概念,起到了上承集合,下引函数的作用。也为进一步学习函数这一章的其它内容提供了方法和依据 二、教学目标 理解函数的概念,会用函数的定义判断函数,会求一些最基本的函数的定义域、值域。 通过对实际问题分析、抽象与概括,培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的能力。 通过对函数概念形成的探究过程,培养学生发现问题,探索问题,不断超越的创新品质。 三、重难点分析确定 根据上述对教材的分析及新课程标准的要求,确定函数的概念既是本节课的重点,也应该是本章的难点。 四、教学基本思路及过程 本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础,只有对概念做到深刻理解,才能正确灵活地加以应用。本课(借助小黑板)从集合间的对应来描绘函数概念,起到了上承集合,下引函数的作用,也为进一步学习函数
综合测试题(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2016·四川理,1)设集合A ={x |-2≤x ≤2},Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A .3 B .4 C .5 D .6 2.已知集合A ={x |0
A.log34
高一数学必修1质量检测试题(卷) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至6页。考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 一、选择题:本答题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.集合{0,1}的子集有 ( )个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知集合2 {|10}M x x =-=,则下列式子正确的是 A .{1}M -∈ B . 1 M ? C . 1 M ∈- D . 1 M ?- 3.下列各组函数中,表示同一函数的是 A .1y =与0y x = B .4lg y x =与2 2lg y x = C .||y x =与2 y = D .y x =与ln x y e = 4.设集合{(,)|46},{(,)|53}A x y y x B x y y x ==-+==-,则B A = A .{x =1,y =2} B .{(1,2)} C .{1,2} D .(1,2) 5. 函数()ln 28f x x x =+-的零点一定位于区间 A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 6.二次函数2 ()23f x x bx =++()b R ∈零点的个数是 A .0 B .1 C .2 D .以上都有可能 7.设 ()x a f x =(a>0,a ≠1),对于任意的正实数x ,y ,都有 A.()()()f xy f x f y = B. ()()()f xy f x f y =+ C.()()()f x y f x f y += D. ()()()f x y f x f y +=+
必修1全册综合测试题(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2011·新课标文)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ) A.2个B.4个 C.6个D.8个 2.(2012·银川高一检测)设函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系是( ) A.f(a+1)=f(2) B.f(a+1)>f(2) C.f(a+1)
-x ),则x 的取值范围是( ) A .x >1 B .x <1 C .0
高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集;N *或N +表示正整数集;Z 表示整数集;Q 表示有理数集;R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈;或者a M ?;两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来;写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质};其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等
(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素;则它有2n 个子集;它有21n -个真子集;它有21n -个非空子集;它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集
A B B ?U 补集 {|,}x x U x A ∈?且%1 ( %1 %1 %1 %1 ⑼ 集合的运算律: 交换律:.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律:,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律:.,A A A A A A ==Y I 求补律:A ∩ A ∪=U 反演律:(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1.映射:设A 、B 是两个集合;如果按照某种对应关系f ;对于集合A 中的 元素;在集合B 中都有 元素和它对应;这样的对应叫做 到 的映射;记作 .2.象与原象:如果f :A →B 是一个A 到B 的映射;那么和A 中的元素a 对应的 叫做象; 叫做原象.二、函数1.定义:设A 、B 是 ;f :A →B 是从A 到B 的一个映射;则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ;记作 .2.函数的三要素为 、 、 ;两个函数当且仅当 分别相
新北师大版高一必修一期末测试卷(共2套 附解析) 综合测试题(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2016·全国卷Ⅰ理,1)设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B = ( ) A .(-3,-32) B .(-3,3 2) C .(1,3 2 ) D .(3 2 ,3) 2.(2015·湖北高考)函数f (x )=4-|x |+lg x 2-5x +6 x -3 的定义域( ) A .(2,3) B .(2,4] C .(2,3)∪(3,4] D .(-1,3)∪(3,6] 3.下列各组函数,在同一直角坐标中,f (x )与g (x )有相同图像的一组是 ( ) A .f (x )=(x 2)1 2 ,g (x )=(x 1 2 )2 B .f (x )=x 2-9 x +3 ,g (x )=x -3 C .f (x )=(x 1 2 )2,g (x )=2log 2x D .f (x )=x ,g (x )=lg10x 4.函数y =ln x +2x -6的零点,必定位于如下哪一个区间( )