2016新课标创新人教A版数学必修2 3.1直线的倾斜角与斜率
第1课时倾斜角与斜率
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P82～P86，回答下列问题：
在平面直角坐标系中，直线l经过点P.
(1)直线l的位置能够确定吗？
提示：不能．
(2)过点P可以作与l相交的直线多少条？
提示：无数条．
(3)上述问题中的所有直线有什么区别？
提示：倾斜程度不同．
2．归纳总结，核心必记
(1)直线的倾斜角
①倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
②倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
(2)直线的斜率
①斜率的定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.
②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1
.当
x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．
③斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．
[问题思考]
(1)任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
(2)斜率与直线的倾斜程度有何对应关系？
提示：①当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜(呈上升趋势)． ②当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜(呈下降趋势)． ③当直线的斜率为0时，直线与x 轴平行或重合(呈水平状态)．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)直线的倾斜角是什么样的角？怎样理解？ ；
(2)直线的斜率是什么？如何理解？ .
观察下面图形：
[思考1] 上述图形中各直线的倾斜角各是什么？
提示：上述图形中直线的倾斜角为角α .
[思考2]直线倾斜角定义中包含哪几类情况？
提示：包括钝角、锐角、直角和零角．
[思考3]怎样理解直线的倾斜角？
名师指津：(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
讲一讲
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°
[尝试解答]根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
[答案] D
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾
斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 练一练
1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A ．α
B ．180°－α
C ．180°－α或90°－α
D ．90°＋α或90°－α
解析：选D 如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.
观察下面图形：
日常生活中，常用坡度? ????坡度＝升高量前进量表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升
2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞2
2
.
[思考1] 对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？
提示：可以．
[思考2] 通过比较，你会发现它与倾斜角有何关系？ 提示：与倾斜角的正切值相等．
[思考3] 倾斜角α与斜率k 有什么关系？ 名师指津：直线的倾斜角和斜率的关系：
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时．直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
讲一讲
2．(1)如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率；
(2)求经过两点A (a,2)，B (3,6)的直线的斜率． [尝试解答] (1)l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝
3
3
. ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
(2)当a ＝3时，斜率不存在； 当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a .
求直线斜率的两种类型
一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为90°的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况．
练一练
2．(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________； (2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________．
解析：(1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1，又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－
5.
(2)由斜率公式k ＝4－m
m ＋2＝1，得m ＝1.
答案：(1)－5 (2)1
讲一讲
3．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(链接教材P 85—例1)
(1)求直线l 的斜率k 的取值范围；
(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．
[思路点拨] 结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k P A .
[尝试解答] 如图，由题意可知k P A ＝
4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－0
3－1
＝1， (1)要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1
x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解． 练一练
3．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)， (1)求直线AB 和AC 的斜率．
(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围． 解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3
＝5
3.
故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53
.
(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是????
17，53.
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————————
1．本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求直线倾斜角的方法，见讲1.
(2)求直线斜率的方法，见讲2.
(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系，见讲3.
3．本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错，如讲3.
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1直线的倾斜角
1．给出下列说法，正确的个数是()
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选A若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．
2．(2016·达州高一检测)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是() A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°
C．90°<α<180°D．0°<α<180°
解析：选C直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.
题组2直线的斜率
3．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是()
A．5 B．8
C.13
2
D ．7 解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5
＝1，解得m ＝13
2.
4．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________． 解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a
＝9a ＋75，∴a ＝2或2
9.
答案：2或2
9
5．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．
解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝(－m ＋3)－4m ＋1，k BC ＝(m －1)－4
2－(－1).
∴
(－m ＋3)－4m ＋1＝3·(m －1)－4
2－(－1)
.
整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)， 即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.
题组3 直线斜率的应用
6．若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在
解析：选C 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.
7．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.
33B.3C ．1 D.2
2
解析：选A 由题意可知，k ＝tan 30°＝
3
3
. 8．(2016·河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
解析：选A 设直线的倾斜角为α，直线斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，∴tan α＝33.又∵
0°≤α＜180°，∴α＝30°.
9．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．
解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α. 当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°. 当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1
，
当m ＞1时，k ＝1
m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°；
当m ＜1时，k ＝1
m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°.
所以α∈(0°，180°)，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
[能力提升综合练]
1．下列说法中，正确的是( )
A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C ．若直线的倾斜角为α，则sin α>0
D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
解析：选D 对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D.
2．如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 1＜k 3＜k 2 C ．k 2＜k 1＜k 3 D ．k 3＜k 2＜k 1
解析：选A 根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．
3．(2016·株洲高一检测)过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－
32B.3
2
C ．－1
D ．1
解析：选C tan 45°＝k AB ＝
y ＋34－2，即y ＋3
4－2
＝1，所以y ＝－1. 4．如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[0,2]
C.???
?0，1
2D ．(0,3] 解析：选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．
5．已知A (－1,2)，B (3,2)，若直线AP 与直线BP 的斜率分别为2和－2，则点P 的坐标是________．
解析：设点P (x ，y )，则有y －2x ＋1＝2，且y －2x －3＝－2，解得x ＝1，y ＝6，即点P 的坐标是
(1,6)．
答案：(1,6)
6．(2016·合肥高一检测)若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________．
解析：∵k ＝a －1a ＋2且直线的倾斜角为钝角，∴a －1
a ＋2<0，解得－2 答案：(－2,1) 7．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝1 2 时，b 的值． 解：由斜率公式得k AB ＝ －2－3 3＋2 ＝－1. ∵C 在l 上，∴k AC ＝－1，即 b －3 a ＋2 ＝－1. ∴a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝1 2 . 8．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1 x ＋1的取值范围． 解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率． ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)． ∵k NA ＝53，k NB ＝－1 6， ∴－16≤y ＋1x ＋1≤5 3. ∴y ＋1x ＋1 的取值范围为????－16，5 3. 第2课时 两条直线平行与垂直的判定 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P86～P89，回答下列问题： (1)观察教材图3.1－7，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ 提示：α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tan_α1＝tan_α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1、k2不存在． (2)观察教材图3.1－10，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？ 提示：α2＝α1＋90°，因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和． 2．归纳总结，核心必记 (1)两直线平行的判定 ①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有k1＝k2?l1∥l2. ②若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2?l1∥l2或l1与l2重合． ③若直线l1和l2的斜率都不存在，且不重合时，得到l1∥l2. (2)两直线垂直的判定 ①如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们垂直，即l1⊥l2?k1k2＝－1. ②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直． [问题思考] (1)若两条直线平行，斜率一定相等吗？ 提示：不一定，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在． (2)若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1吗？ 提示：不一定，如果两条直线l1，l2中的一条与x轴平行(或重合)，另一条与x轴垂直(也即与y轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直． [课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)怎样判定两条直线平行？ ； (2)怎样判断两条直线垂直？ . [思考] 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？ 名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点： (1)l 1∥l 2?k 1＝k 2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l 1与l 2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l 1与l 2的倾斜角都是90°，则l 1∥l 2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l 1∥l 2?k 1＝k 2或l 1，l 2斜率都不存在． 讲一讲 1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)． [尝试解答] (1)由题意知k 1＝ 5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3 ＝－4 5. 因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23 －2－3＝ 3. 因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 判断两条直线是否平行的步骤 练一练 1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行． 解：由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝ m －0 －5－(m ＋1) ＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12，由于AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，即m －6－m ＝1 2，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2. [思考] 对两直线垂直与斜率的关系应注意什么？ 名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点： (1)l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 讲一讲 2．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值． [尝试解答] 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2. ∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在． 当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0， 由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6. 综上可知，a 的值为5或－6. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 练一练 2．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是__________． 解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x,0)，则k AC ＝－3 x ＋1 ，k BC ＝ －2 x －4 ， 所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，得x ＝1或2， 所以C (1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0) 讲一讲 3．已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．(链接教材P 89—例6) [思路点拨] 画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状． [尝试解答] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示， 由斜率公式可得k AB ＝ 5－32－(－4)＝1 3 ， k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3， k BC ＝3－56－2 ＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ， 所以AD 与BC 不平行． 又因为k AB ·k AD ＝1 3×(－3)＝－1， 所以AB ⊥AD ， 故四边形ABCD 为直角梯形． 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 练一练 3．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)． 解：设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图，由于k AB ＝3，k BC ＝0， ∴k AB ·k BC ＝0≠－1， 即AB 与BC 不垂直， 故AB ，BC 都不可作为直角梯形的直角腰． 若AD 是直角梯形的直角腰， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD .∵k AD ＝ y －3x ，k CD ＝y x －3 ， 由于AD ⊥AB ，∴y －3 x ·3＝－1.① 又AB ∥CD ，∴y x －3 ＝3.② 解①②两式可得??? x ＝185 ， y ＝9 5. 此时AD 与BC 不平行． 若DC 为直角梯形的直角腰， 则DC ⊥BC ，且AD ∥BC . ∵k BC ＝0， ∴DC 的斜率不存在． 故x ＝3，又AD ∥BC ，则y ＝3. 故D 点坐标为(3,3)． 综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或???? 185，95. ——————————[课堂归纳·感悟提升]————————————— 1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤，见讲1. (2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲2. (3)判断图形形状的方法步骤，见讲3. 3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲2. 课下能力提升(十六) [学业水平达标练] 题组1 两条直线平行的判定及应用 1．若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1、α2，斜率分别为k1、k2，有下列命题： ①若l1∥l2，则斜率k1＝k2； ②若k1＝k2，则l1∥l2； ③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2； ④若α1＝α2，则l1∥l2. 其中真命题的个数是() A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：选C①错，两直线不一定有斜率． 2．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是() A．－8 B．0 C．2 D．10 解析：选A由题意可知，k AB＝4－m m＋2 ＝－2，所以m＝－8. 3．过点A(1,3)和点B(－2,3)的直线与直线y＝0的位置关系为________． 解析：∵直线y＝0的斜率为k1＝0，过A(1,3)，B(－2,3)的直线的斜率k2＝3－3 －2－1 ＝0, ∴两条直线平行． 答案：平行 4．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________． 解析：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF∥AB. ∴k EF＝k AB＝－1－3 2－0 ＝－2. 答案：－2 题组2两条直线垂直的判定及应用 5．(2016·淄博高一检测)直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是() A．平行B．重合 C．相交但不垂直D．垂直 解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1. 6．若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________． 解析：由两点的斜率公式可得：k PQ＝3－a－b 3－b－a ＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率 为－1. 答案：－1 7．已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为30°，则直线l 2的斜率为________． 解析：由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝ 3 3 ， 设直线l 2的斜率为k 2，则k 1·k 2＝－1，∴k 2＝－ 3. 答案：－ 3 题组3 两条直线平行与垂直的综合应用 8．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．以A 点为直角顶点的直角三角形 D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 解析：选C k AB ＝1－(－1)－1－2＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32， ∵k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ， ∴△ABC 是以A 点为直角顶点的直角三角形． 9．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值． (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． 解：设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－(a ＋2)1－(－2) ＝－a 3. (1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率为k 1＝2－a a －4，所以2－a a －4＝－a 3，解得a ＝1或a ＝6， 经检验当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－1 2，不符合题意；②当k 2≠0时，l 1的斜 率存在，k 1＝2－a a －4 ， 由k 1·k 2＝－1得到2－a a －4×???? －a 3＝－1， 解得a ＝3或a ＝－4. 10．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：设D (x ，y )，则k AB ＝ 23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝y x －1 . 因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ， 所以k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC ，即??? 1×y －4x ＝－1， y x －1＝－2 3 . 解得? ???? x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)． [能力提升综合练] 1．下列说法正确的有( ) ①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2； ③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确． 2．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－6) B ．(0,7) C ．(0，－6)或(0,7) D ．(－6,0)或(7,0) 解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝ y ＋52，k BP ＝y －6－6 ，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·???? －y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)． 3．(2016·邯郸高一检测)若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135° B ．45° C ．30° D ．60° 解析：选B k PQ ＝ a ＋1－b b －1－a ＝－1，k PQ ·k l ＝－1， ∴l 的斜率为1，倾斜角为45°. 4．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形 解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0.k BD ＝－14，k AC ＝3 4， 所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－ 3 12 ，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形． 5．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上) 解析：∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝1 4，k BD ＝－4， ∴AB ∥CD ，AC ⊥B D. 答案：①④ 6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1 －3－m ＝－1，∴m ＝0. 答案：0 7．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2 或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值． 解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即 4－1 －3－m ＝m ＋1－m －1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ·k CD ＝－1， 即 4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1 ＝－1，解得m ＝－9 2. 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3； 当l 1⊥l 2时，m 的值为－9 2 . 8．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率． 人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( ) 高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾 一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论； 二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函 高一数学必修一教案（北师大版） 第一章集合 §1集合的含义与表示 学习目标： 1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。能选择恰当的方法表示一些简单的集合。 2、了解集合元素的性质，掌握常用数集及其专用符号。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的含义与表示。 请看本节的学习目标：（投影） 二、自学指导： 师：同学们，如何完成本节的学习目标呢？主要依靠大家的自学，请认真看自学指导。（投影） 自学指导： 请认真看课本P3-P5的内容，弄清以下几个问题： 1、集合的概念. 2、集合元素的性质. 3、元素与集合的关系. 4、常用数集的专用符号. 5、集合的表示方法. 6、集合的分类. 8分钟后检测，比谁能做对与例题类似的习题。 三、学生自学 教师督促，使每一位学生紧张自学，注意学生看书速度。 四、检测 1、检测题 ○1请举出两个集合的例子 ○2所有的高个子能否表示为集合？ ○3A={2，2，4}表示是否准确？ ○4做练习题P5，1、2、3 2、指名学生板演，其他学生认真做在练习本上。 五、更正讨论 1、更正 请同学们认真看板演的内容，能够发现问题并能更正的同学请举手。（指名更正） 2、讨论 先看第①题，举的例子正确吗？为什么？引导学生总结集合的定义 ②题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：确定性 ③题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：互异性 【集合的元素的基本性质】 （1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合． （2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素． (3) 无序性：集合中的元素没有顺序。 ④题第一题，这道题都是运用了课本中的哪个知识点？引导学生回答：运用的是常用数集的相关知识。 再看第二题，运用的方法恰当、正确吗？为什么？并规范集合的表示。 第三题，结果正确吗？为什么？纠正学生对空集的认识。 3、学生归纳总结，识记概念。 六、当堂训练 师：请同学们运用本节所学内容独立完成作业。 作业：P6 T2、3 §2集合的基本关系 学习目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2 、掌握并能使用Venn图表达集合关系，加强学生从具体到抽象的思维能力。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的基本关系。 请看本节的学习目标：（投影） 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一 个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太 平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球 队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的 真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q) 人教版高一数学必修一综合测试题 第一部分 选择题（共50分） 一、 单项选择题（每小题5分，共10题，共50分） 1、设集合A={1,2}, B={1,2,3}, C={2,3,4}，则=??C B A )( （ ） A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2、设函数???<≥+=0 ,0,1)(2x x x x x f ，则[])2(-f f 的值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3、下列各组函数中，表示同一函数的是 （）A.x x y y ==,1 B.x y x y lg 2,lg 2== C.33,x y x y == D.2)(,x y x y == 4、下列四个函数中，在(0,+∞)上为增函数的是 （ ）A.f(x)=3-x B.x x x f 3)(2-= C.x x f 1)(-= D.x x f -=)( 5 、下列式子中，成立的是 （ ） A.6log 4log 4.04.0< B.5.34.301.101.1> C.3.03.04.35.3< D.7log 6log 67< 6、设函数833)(-+=x x f x ，用二分法求方程0833=-+x x 在)2,1(=∈x 内 近似解的过程中，计算得到f(1)<0, f(1.5)>0, f(1.25)<0，则方程 的根落在区间 （ ）A.(1，1.25) B.(1.25，1.5) C.(1.5，2) D.不能确定 7、若f(x)是偶函数，其定义域为（—∞，+∞），且在[0,+∞）上是减 函数，则 ??? ??-23f 与??? ??25f 的大小关系是 （ ）A.??? ??>??? ??-2523f f B.??? ??=??? ??-2523f f C.?? ? ?? 必修 1 引入课题 今天我们学习高中数学的第一章集合与函数，初中我们就学习过函数，高中我们将在集合的背景下重新学习函数，所以我们从今天开始先学习集合，（板书）下面请咱班的全体同学把课本翻到第二页，在这里，咱班的全体同学就构成了一个集合。小学和初中我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，不等式解的集合，平面内到一条线段两个端点距离相等的点的集合。那么集合的含义是什么呢？ 阅读课本P2-5内容，附加（9）我国的小河流；（10）全班成绩好的学生 其中（1）--（8）都是把一些确定的元素组成的总体叫集合，而（9），（10）其研究对象含糊不清，不明确，不能作为一个集合 二、新课教学 1，集合的有关概念 一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 比如说咱们班全体同学构成了一个集合，其元素是每一位同学。 同学们举例----- 2，关于集合的元素的特征 教室内帅气的男生能否构成一个集合？ 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 今天上了哪些课程？今天数学是联排课，数学用不用说两遍？ 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 咱班的同学按照姓氏笔画排列一遍，再按照年龄大小排列一遍，是不是同一个集合？ 无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 练习：判定是否是集合？ （1）方程x*2-2x+1=0的解集（2）鲁迅，π，上海 说明：其中前两个性质作为集合的判定定理 3，元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a?A 会不会有第三种关系，即不确定属于不属于？（确定性） 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 4．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示；集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 5．常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N；（自然英文首字母） 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z；（zheng） 有理数集，记作Q；（QQ交朋友） 实数集，记作R；（真实的英文首字母） 区分有理数，无理数： 有理数：整数，分数，小数，无限循环小数 ，π，e 6,我们可以用自然语言来描述一个集合，比如说“四大洋”，这个集合有几个元素？元素个数比较少，我们可以一一列举出来，这就是集合的表示方法之一，列举法，再比如2，4，6，7这四个数构成的集合，用自然语言描述不好描述，用列举法就很简单， 综合检测 一、选择题 1． 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝????12x D ．y ＝x ＋1 x 2． 若a <1 2 ，则化简4(2a －1)2的结果是 ( ) A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a 3． 函数y ＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是 ( ) A ．[0，53) B ．[0，5 3] C ．[1，53) D ．[1，5 3 ] 4．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，R 是实数集，则(?R B )∩A 等于( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．(－∞，0] D ．以上都不对 5． 幂函数的图象过点??? ?2，1 4，则它的单调递增区间是 ( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 6． 函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为 ( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[4，＋∞) D ．[3，＋∞) 7． 比较1.513.1、23.1、21 3.1 的大小关系是 ( ) A ．23.1＜2 13.1＜1.513.1 B ．1.513.1＜23.1＜21 3.1 C ．1.513.1＜213.1＜23.1 D ．213.1＜1.51 3.1 ＜23.1 8． 函数y ＝a x －1 a (a >0，且a ≠1)的图象可能是 ( ) 9． 若0＜x ＜y ＜1，则 ( ) A ．3y ＜3x B ．log x 3＜log y 3 C ．log 4x ＜log 4y D ．(14)x ＜(1 4 )y 10．若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg x )的解集是 ( ) A ．(0,10) B.????110，10 C.????110，＋∞ D.??? ?0，1 10∪(10，＋∞) 11．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋ 1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是 ( ) 一 集合与函数 确定性 集合中元素的特征 互异性 无序性 1 集合的含义及表示 集合与元素的关系 : 列举法 集合的表示 描述法 常见的数集 NN * ZQR 子集： A B , A, A A 集合相等 : 1 定义 :A=B 2 集合间的基本关系 2 若 且 B 则 A B A B A 真子集： 若 A 且 A B, 则 A B B 空集 的特殊性 : 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 * 结论 含有 n 个元素的集合，其子集的个数为 2n ，真子集的个数为 2n 1 并集： A B x | x A 或 x B 3 集合的基本运算 交集： A B x | x A 且 x B 补集： C U A x | x U 且 x A 在集合运算中常借助于数轴和文氏图（ * 注意端点值的取舍） *结论（1）AAAAAA , A A A （2） 若A B B 则AB 若 A BA 则AB （3） A (C U A) A (C U A) U （4）若 A B 则 A 或 A 函数的定义 定义域 函数的三要素对应法则 值域 4 函数及其表示 区间的表示 解析式法 函数的表示法列表法 图像法 5函数的单调性及应用 （ 1）定义：设x1x2a,b , x1x2那么: x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) (x1 x2 ) f ( x1 ) f (x2 ) 0 f (x1 ) f (x2) 0 f ( x)在 a, b x1 x2 x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) (x1 x2) f (x1) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f (x2) f ( x)在 a, b x1 x2 （ 2）判定方法： 1 定义法(证明题) 2 图像法 3 复合法上是增函数；上是减函数 . （3）定义法：证明函数单调性用 利用定义来证明函数单调性的一般性步骤： 1设值：任取x1, x2为该区间内的任意两个值，且x1x2 2做差 ,变形，比较大小：做差f ( x1) f ( x2)，并利用通分，因式分解，配方，有理化等方法变形比较 f ( x1 ), f ( x2 ) 大小 3下结论（说函数单调性必须在其单调区间上） （4）常见函数利用图像直接判断单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，幂函数， 对勾函数 （5）复合法：针对复合函数采用同增异减原则 （6）单调性中结论：在同一个单调区间内：增+增 =增：增—减 =增：减 +减=减：减—增 =增 若函数 f ( x) 在区间 a, b 为增函数，则— f ( x) ， 1 ) 在 a, b 为减函数f ( x （ 7）单调性的应用：1：利用函数单调性比较大小 2利用函数单调性求函数最值（值域） 重点题型：求二次函数在闭区间上的最值问题 一 集合与函数 1 集合的含义及表示* ???? ?? ????? ∈??? ????? ??? 确定性集合中元素的特征 互异性无序性 集合与元素的关系 : 列举法 集合的表示 描述法常见的数集 N N Z Q R 2,,A B B A A B A B A A A A B A B A B οο φ≠ ??=????? ?????≠??1定义:A=B 2若且则子集： , 集合相等: 集合间的基本关系真子集： 若且 则 空集φ的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 *结论 含有n 个元素的集合，其子集的个数为2n ，真子集的个数为21n - 3集合的基本运算{}{}{}|||U A B x x A x B A B x x A x B C A x x U x A ??=∈∈? ?=∈∈??=∈?? 并集：或 交集：且 补集：且 在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍） *结论 （1）A A A ?= A A A ?=, A A φ?= A φφ?= （2）A B B A B ?=?若则 A B A A B ?=?若则 （3）()U A C A φ?= ()U A C A U ?= （4）若A B φ?= 则A φ=或A φ≠ 4函数及其表示?? ?? ??????? ?????? ?????? 函数的定义 定义域函数的三要素对应法则值域区间的表示 解析式法函数的表示法列表法图像法 5 函数的单调性及应用 （1） 定义： 设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么: 1212,()()x x f x f x <?0) ()(2 121>--x x x f x f []b a x f ,)(在?上是增函数； 1212,()()x x f x f x <>?[]1212()()()0x x f x f x -- 1.1.1集合的含义与表示（一） 【课型】新授课 【教学目标】 （1）了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征； （2）理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系； （3）掌握常用数集及其记法； 【教学重点】掌握集合的基本概念； 【教学难点】元素与集合的关系； 【教学过程】 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-5内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流； （3）非负奇数； x+=的解； （4）方程210 （5）某校2007级新生； （6）血压很高的人； （7）著名的数学家； （8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9）全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 2.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 3.元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a?A 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。4．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示；集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。5．常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R； （二）例题讲解： 例1．用“∈”或“?”符号填空： （1）8 N；（2）0 N； （3）-3 Z；（4； （5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。 人教版高一数学必修一各章知识点总结+测试题组全套 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数 集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A 与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真 子集，记作 A B(或 B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算 类型 交集并集补集 定义由所有属于A且 属于B的元素所 组成的集合,叫做 A,B的交集．记 作A B（读作‘A 交B’），即A B= ｛x|x∈A，且 由所有属于集合A 或属于集合B的元 素所组成的集合， 叫做A,B的并 集．记作：A B（读 作‘A并B’），即 A B ={x|x∈A，或 设S是一个集合，A 是S的一个子集， 由S中所有不属于 A的元素组成的集 合，叫做S中子集A 的补集（或余集） 记作A C S ，即 S A 人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版 习题1.2（第24页） 练习（第32页） 1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达 到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．解：图象如下 [8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数， 在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <， 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值． 练习（第36页） 1．解：（1）对于函数4 2 ()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有4 2 4 2 ()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数4 2 ()23f x x x =+为偶函数； （2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有3 3 ()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3 ()2f x x x =-为奇函数； （3）对于函数2 1()x f x x += ，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为对定义域内 每一个x 都有2 2 ()11()()x x f x f x x x -++-= =- =--， 所以函数2 1()x f x x += 为奇函数； （4）对于函数2 ()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有2 2 ()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2 ()1f x x =+为偶函数. 2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的． 高一数学必修一学业水平测试 考试时间：120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中） 1.已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2, 2.1,0,4,3,2,1,0 A. {}2 B. {}3 C. {}432，， D. {}43210，，，。 2.下列各组两个集合A 和B,表示同一集合的是 A. A={}π,B={}14159 .3 B. A={}3,2,B={})32(， C. A={ }π,3,1,B={} 3,1,-π D. A={} N x x x ∈≤<-,11,B={} 1 3. 函数2x y -=的单调递增区间为 A ．]0,(-∞ B ．),0[+∞ C ．),0(+∞ D ．),(+∞-∞ 4. 下列函数是偶函数的是 A. x y = B. 322-=x y C. 2 1 - =x y D. ]1,0[,2∈=x x y 5．已知函数()则，x x x x x f ?? ?>+-≤+=1 ,31 ,1f(2) = A.3 B,2 C.1 D.0 6.当10<
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