小波变换母小波选取

1、Sym8：

2、sym6：

3、Coif2：

4、coif3

Coif5：

Boif6.8

Gaus1

Gaus2

Guas4

Cgau1

Cgau5

Cmor1-0.5

Cmor1-0.1

基于小波变换的图像融合

基于小波变换的图像融合 摘要：图像融合是通过某种算法，将两幅或多幅不同的图像进行合并以形成一一幅新的图像的过程，其的主要目的是通过对多幅图像间的冗余数据的处理来提高图像的可靠性，通过对多幅图像间的互补信息的处理来提高图像的清晰度。本文的研究重点是基于小波变换实现图像的初步融合，完成将两幅不同的图像进行合并以形成一幅新的图像。关键词:图像融合，小波变换，融合算法，图像信息 Abstract The image fusi on is a procedure that comb ine more tha n two images in order to get a new image, and it ' s main purpose of image fusi on of multiple images is enhance the reliability of image through deal with the ultra data of the in itial image, and improve the defi niti on of the image through deal with the compleme ntary in formatio n of the images. The key point of this article is realized the image fusi on based on the wavelet tran sform and comb ines two images to get a new image. Key Words : image fusion, wavelet transform, fusion algorithm, image in formatio n 一、引言 图像融合是通过某种算法，将两幅或多幅不同的图像进行合并以形成一幅新的图像的过程。在众多的图像融合技术，基于小波变换的图像融合方法已成为现今的个热点，图像融合技术是数据融合技术的一种特定情形，它是以图像的形式来表达具 体的信息，它对人的视觉产生作用。图像融合具体来说是根据某一算法，将所获得的针对同一目标场景的多幅配准后的图像进行综合处理，从而得到一幅新的、满足某种条件的、对目标或场景的描述更为准确、更为全面、更为可靠的图像。融合后的图像应该比原始图像更加清晰可靠和易于分辨。图像融合充分利用了多个原始图像所包含的冗余信息和互补信息，能够起到扩大传感范围、提高系统可靠性和图像信息利用率的作用。 二、小波变换图像融合 传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种 改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier 分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又 一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域 变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 近些年来，小波变换倍受科技界的重视，它不仅在数学上已形成了一个新的分支，

小波变换的基本原理

10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达

小波变换的图像压缩

研究基于小波变换的图像压缩 摘要 图像压缩的关键技术是图像数据转换,转换后的数据进行数据量化和数据熵编码。基于小波变换的图像压缩是一种常见的图像压缩方法,本篇论文使用小波变换、多分辨率分析及不同规模的量化和编码实现图像压缩。在相同的条件下,本文采用两种不同的方法,第一种方法保留低频和放弃高频,第二种方法是阈值方法来实现图像压缩。 关键词：关键词——小波变换；小波图像系数；量化；编码 1.引言 图像压缩是指损失一部分比特率的技术或无损还原原始图像信息。在信息理论中,它的有效性，源编码的问题,即通过移除冗余即不必要的信息来实现这一目标。压缩的图像信息有两个方法，模拟和数字,因为数字压缩方法有大幅减少比特数量的优势,绝大多数的系统使用数字压缩方法。信号分析及处理的常用方法是傅里叶变换(FT),而且最广泛的分析工具应用于图像处理,但由于傅里叶变换不能满足局部的时间域和频率域的特点,小波变换具有傅立叶变换没有的两个特征,同时小波变换系数相同的空间位置描述在不同的尺度上有相似性,使得小波变换能进行量化编码。近年来,使用基于小波变换的图像压缩已取得了很大的进步,也变换算法充分利用小波系数的特性。 2.图像压缩编码的基本原理 图像编码研究侧重于如何压缩图像数据信息,允许一定程度的失真条件下的还原图像(包括主观视觉效果),称为图像压缩编码。然后使图像信号的信号源通过系统PCM编码器由线性PCM编码,压缩编码器压缩图像数据,然后摆脱码字的冗余数据。图像压缩编码的基本原理是图1。

图1 图像压缩编码的基本框图 因此,图像编码是使用统计特性的固有效果和视觉特征,从原始图像中提取有效信息，信息压缩编码和删除一些无用的冗余信息,从而允许高效传输的数字图像或数字存储。图像恢复时,恢复图像的不完全与原始图像相同,保留有效信息的图像。 3.小波分析的基本理论 小波变换具有良好的定位时间和频域的特征,充分利用非均匀分布的分辨率,对于高频信号,使用时域的小时间窗口,进行低频信号分析,使用一个大的时间窗口。这正值一个时频分布特征,高频信号持续很长时间，不易衰减,低频信号持续很长时间,正好适合图像处理。 4. 基于小波的图像压缩变换 小波变换用于图像压缩的基本思想,小波变换用于图像压缩:首先选择小波对原始图像进行小波变换,得到了一系列小波系数,然后对这些系数量化和编码。使用某些特征相同的相邻元素之间的子频带的小波系数和量化小波系数实现图像数据压缩的目的。二维图像信号多分辨率分析和Matlab算法是关键,需要引入二维多分辨率分析和Matlab算法。二维可分离的多分辨率分析和Matlab算法可以很容易地由一维离散小波变换得到。图3 Matlab分别为二维分解图和重建算法图。 图2二维Matlab分解图

基于小波变换的图像处理.

基于小波变换的数字图像处理 摘要：本文先介绍了小波分析的基本理论，为图像处理模型的构建奠定了基础，在此基础上提出了小波分析在图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等图像处理方面的应用,最后在MATLAB环境下进行仿真，验证了小波变化在图像处理方面的优势。 关键词：小波分析；图像压缩；图像去噪；图像融合；图像增强 引言 数字图像处理是利用计算机对科学研究和生产中出现的数字化可视化图像 信息进行处理，作为信息技术的一个重要领域受到了高度广泛的重视。数字化图像处理的今天，人们为图像建立数学模型并对图像特征给出各种描述，设计算子，优化处理等。迄今为止，研究数字图像处理应用中数学问题的理论越来越多，包括概率统计、调和分析、线性系统和偏微分方程等。 小波分析，作为一种新的数学分析工具，是泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，所以小波分析具有良好性质和实际应用背景，被广泛应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域，并在理论和方法上取得了重大进展，小波分析在图像处理及其相关领域所发挥的作用也越来越大。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。但短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行，所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。 本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，然后研究了小波分析在图像处理中的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等,本文重点在图像去噪，最后用Matlab进行了仿真[1]。

小波变换基本原理.doc

第五章小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度 ②小波发展史 1910 Harr 小波 80 年代初兴起Meyer—小波解析形式 小波80 年代末 Mallat 多分辨率分析— WT 无须尺度 构造？和小波函数—滤波器组实现 90 年代初 Daubechies 正交小波变换 90 年代中后期 Sweblews 第二代小波变换 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数WT（要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的 5.1连续小波变换 一． CWT 与时频分析 1t b 1.概念： CWT (a, b)S(t) * ()dt a a 2.小波变换与 STFT 用于时频分析的区别 STFT小波变换 基函数 (t )(t mT )e jwt(t)1* ( t b ) a a 时频轴平移 +调制（线性频轴）平移+伸缩 a —尺度—对数频 轴 基函数特包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定 征

时频分辨(t mT )e jwt，[mT,w]附近w0 附近 b, 率 a 适用情况渐变信号突变信号 2 轴spectrogram scalogram 结果复数实数 3.WT 与 STFT 对比举例（ Fig5–6, Fig5–7） 二． WT 几个注意的问题 1.WT 与(t) 选择有关—应用信号分析还是信号复原 2.母小波(t ) 必须满足容许性条件 2 ( w) C dw w ①隐含要求(0) 0,即(t) 具有带通特性 ②利用 C可推出反变换表达式 S(t) 1 1 CWT (a,b) (t b )dadb C a 2 a 3.CWT 高度冗余（与 CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量 b 和尺度进行离散化） 2 m , b n 2 m 1 ( t b ) m (2m t n) a a, b (t ) m,n (t ) 2 2 a a d m,n CWT (2 m , n 2 m ) S(t ) m,n * (t) dt 5.小波变换具有时移不变性 S(t ) C W T(a, b) S(t b0 ) C WT(a,b b0 ) 6.用小波重构信号 S(t) ? ? d m,n m,n (t )正交小波 d m,n m,n (t ) m n mn 中心问题：如何构建对偶框架? m, n

(完整版)小波原理课件

我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样 again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？ 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：

小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习

小波变换的原理及m a t l a b仿真程序

基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参

数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

实验五 基于小波变换的图像压缩

实验五小波变换在图像压缩中应用 一、实验内容 利用MATLAB小波工具箱，基于小波变换进行图像压缩处理。 二、实验目的及说明 所谓图像压缩就是去掉各种冗余，保留重要的信息。图像压缩的过程常称为编码，而图像的恢复则称为解码。图像数据之所以能够进行压缩，其数学机理有以下两点： （1）原始图像数据往往存在各种信息的冗余（如空间冗余、视觉冗余和结果冗余等），数据之间存在相关性，邻近像素的灰度（将其看成随机变量）往往是高度相关的。 （2）在多媒体应用领域中，人眼作为图像信息的接收端，其视觉对边缘的急剧变化敏感，以及人眼存在对图像的亮度信息敏感，而对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号仍有满意的主观质量。三、实验原理 小波压缩沿袭了变换编码的基本思想，即去相关性。小波变换、量化和熵编码等是构成小波编码的三个主要部分。其基本原理：将原始图像经小波变换后，转换成小波域上的小波系数，然后对小波系数进行量化编码。采用二维小波变换快速算法，小波变换就是以原始图像为基础，不断将上一级图像分为四个子带的过程。每次分解得到的四个子带图像，分别代表频率平面上不同的区域，他们分别含有上一级图像中的低频信息和垂直、水平及对角线方向的边缘信息，如下图所示： LL为低频子带，HL、LH、HH为高频子带 图像进行小波变换后，并没有实现压缩，是对图像的能量进行了重新分配。 四、核心函数介绍 Wavedec2()函数：多尺度二维小波分解

appcoef2()函数：提取二维小波分解低频系数wcodemat()函数：对矩阵进行量化编码 五、实验结果 实验结果： 表5-1 压缩图像的尺寸和字节数 压缩的图像结果显示： 原图像： 第一次压缩后的图像：

小波变换与PCNN在图像处理中的比较与结合

收稿日期:2005-10-25 基金项目:国家自然科学基金(60572011/f010204),“985”特色项目计划基金(LZ985-231-582627),甘肃省自然科学基金(YS021-A22-00910) 小波变换与PC NN 在图像处理中的比较与结合 田　勇,敦建征,马义德,夏春水,吴记群 (兰州大学信息科学与工程学院,甘肃兰州　730000) 摘　要:　主要介绍了小波变换和PCNN 的基本原理,结合它们在图像处理中的应用,比较说明了小波变换和PCNN 各自的优缺点.通过分析表明,将小波变换和PCNN 技术相结合在图像处理中会产生更好的效果. 关键词:　小波变换;脉冲耦合神经网络(PCNN);图像处理 中图分类号:　TN 911.73 文献标识码:　A 文章编号:1004-0366(2006)04-0053-03 The Comparison Between Wavelet Transform and PC NN in Image Processing and Their Combination TIAN Yo ng ,DUN Jian-zheng,M A Yi-de,X IA Chun-shui,W U J i-qun (School of Information Science &Engineering ,L anzhou University ,Lanzhou 730000,China ) Abstract :　The ba sic principles of w av elet transfo rm and PCNN a re first https://www.sodocs.net/doc/085117192.html, bining their applicatio ns in the image processing ,w e analy ze their adva ntag es and draw backs respectiv ely.From the analysis ,it is co ncluded tha t w e will g et better effects if we co mbine the tw o techniques tog ether in the imag e processing . Key words :　wav elet transform;pulse co upled neural netw o rk(PCNN);image processing 小波变换可对函数或信号进行多尺度的细化分析,解决了傅立叶变换不能解决的许多问题,被认为是时间——尺度分析和多分辨率分析的一种新技术[1] .目前,它已被广泛应用于分形、信号处理、图像处理、地震勘探、语音识别等应用领域[1～4].脉冲耦合神经网络PCNN (Pulse Co upled Neural Netw ork,PCNN)是一种不同于传统人工神经网络的新型神经网络.PCNN 有着生物学的背景,是根据对动物的大脑视觉皮层同步脉冲发放所获得的实验结果[5～8] ,建立起来的一种神经网络数学模型.PCNN 在图像处理中的应用已经取得巨大成果[9～12].PCNN 在旋转、平移、尺度不变性等方面起着重要的作用.而小波变换的长处在于它能够生成含有输入信息显著特征的系数并且能够对信号进行由粗及精的逐级多分辨率分析.我们发现小波变换和PCNN 有许多相似点,只是在性能和本质特征上有一些差别. 1　小波变换理论简介 [13～16] 小波(wav elet)即小区域的波.“小”是指在时域 具有紧支集或近似紧支集;“波”指小波具有正负交替的波动性.连续小波函数的确切定义为:设J (t )为一平方可积函数,即J (t )∈L 2(R ),若J (k )(其傅里叶变换)满足容许条件(Admissible Co nditio n) C J =∫ R |J (k )|2 |k |d k <∞(1) 则称J (t )为一个基本小波或母小波(M other Wav elet). 小波函数具有多样性,实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波.常用的小波有:Haar 小波,Daubechies (dbN )小波系,Bio rthog onal(biorN r.Nd)小波系,Coiflet(coifN )小波系,Sy mletsA (sym N )小波系,M orlet 小波,M exican Hat 小波,M eyer 小波,Battle-Lemarie 小 第18卷　第4期2006年12月 甘肃科学学报Journal of Gans u Sciences Vol.18　No.4 Dec.2006

小波变换基本原理

第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ

小波变换理论及应用

2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分）

（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 C =0.2247

利用小波变换实现彩色图像增强

利用小波变换实现彩色图像增强 专业：通信工程姓名：李厚福指导教师：王建华 摘要：中国有句谚语“百闻不如一见”，可见视觉信息的重要性。图像是人们获得信息和传递信息的最重要的媒体，人类视觉信息的获取和传播的最主要载体也是图像，因此图像的增强处理受到越来越多的人们关注。而图像在获取或传输过程中，由于各种原因，可能对图像造成破坏，使图像失真，为了满足人们的视觉效果，必须对这些降质的图像进行处理，满足实际需要，使用不同的方法进行图像增强处理，尽可能对图像进行还原。 图像增强技术是数字图像处理的一个重要分支，其方法有很多，主要可以分为空间域增强和频率域增强两大类。但是传统的方法在增强图像的同时，也会带来相应的块效应，不符合人们的视觉效果。小波变换是多尺度多分辨率的分解方式，可以将噪声和信号在不同尺度上分开，根据噪声分布的规律就可以达到图像增强的目的。本文对小波变换理论、小波阈值滤波和增强的方法，小波阈值滤波及增强中的阈值函数和阈值的选取做了理论上的研究，重点研究利用小波变换对图像进行增强处理。关键词：小波变换，图像增强，噪声，信号

第一章绪论 1.1课题研究的意义 图像是人们获取信息和传递信息的最重要的媒体，人类视觉信息的获取和传播的主要载体也是图像。对于生活中的指纹识别，视频监控，生活拍照，医学拍照等无不与图像有着紧密的关系。所以图像增强的目的是改善图像的视觉效果，这对人们的生活有着重要的意义。 图像增强作为基本的图像处理技术，其目的是要改善图像的视觉效果。针对给定图像的应用场合，通过处理设法有选择的突出便于人或机器分析有用的信息，将原来模糊的图像变得清晰，抑制一些没有的信息，得以改善图像质量，丰富信息量，加强图像判读和识别效果，以提高图像的使用价值。 图像增强有很多种方法，传统的方法在增强图像的同时，也会带来相应的块效应，不符合人们的视觉效果。对于其性质随实践是稳定不变的信号，傅立叶变换是理想的工具。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波变换。小波变换是傅立叶变换的发展与延拓，它对不同频率成分在时域上的取样步长具有调节性，高频则小，低频则大。具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。小波变换解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，运用到图像增强方面有很重要的现实意义。

时间序列的小波分析

时间序列的小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中， 0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f(t)a )b ,a (W R 2 /1-f ?-= （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；) a b x (-ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，（k=1,2,…,N; t ?

基于小波变换的图像处理综述

Value Engineering 1小波变换的定义 小波分析是对Fourier 分析的一个重要补充和完善。因此，小波变换的定义应该是尽可能的由少数几个函数生成的；而理想的小波基应该是类似于Fourier 分析的。小波分析主要可以分为两个变换，即连续小波变换和离散小波变换。 2小波分析处理图像的发展 小波分析是一个不断发展的过程，经历“应用-理论-应用”的循环过程。小波分析是多学科交叉理论的结晶，包含泛函数分析、数值分析、分形理论、信息论、调和理论以及逼近论和时频分析等。并提出一种自适应的时-频局部化方法，可在时-频域任意转换，可聚焦任意信号的时段和频段，称为数学中的“望远镜”和“显微镜”。小波变换是Fourier 变换的深层次发展，是近年来工程领域关注的热点，将小波分析用于无损检测、医学CT 、构件探伤等。小波起源就与信号处理密不可分，1984年，法国工程师J.Morlet 和Grossman 对地质信号的分界提出了伸缩、平移的概念，首次提出”Wavelets ”一词。1985年，法国大数学家Meyer 提出光滑正交小波的理念，证明一维小波的存在性，构造出小波函数，是小波数学理论的先驱。随后与他的学生Lemarie 提出多尺度分析的思想。1988年，比利时数学家Ingrid Daubechies 构造出具有紧支撑的有限光滑小波函数，并撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets ）》为小波研究和应用领域的专家学者提供了系统的小波理论讲解。1989年，Mallat 在多分辨的基础上，构造mallat 算法进行分解和重构，打开了小波应用的大门。1990年，Latto 和Tenenbaum 将小波分析用于偏微分方程求解，为小波分析的普及、发展及应用提供了动力。 3小波在图像处理中的主要应用：3.1图像变换小波变换具有捕获点奇异性的能力， 而一维信号中的奇异性主要表现为点奇异性，因此，利用小波变换处理一维信号可以取得很好的效果。图像变换相当于是对数字图像阵列的预处理。因为图像阵列维数相对较大，能够直接进行处理复杂度高、计算繁复，就需要一种算法将它变换，减少计算量，小波变换亦能达到良好去除冗余度的效果。 3.2图像压缩 数字图像的压缩目的即减少图像所需的比特数，经小波变换，通过时间域压缩图像的压缩比比传统的压缩方法高，速度快，而压缩后要能够保持信号与图像的特征基本是不变的，这也是一种有损压缩，但是在传递中抗干扰能力相对较强。Shappro 推倒出离散正交小波变换，提出“嵌入”式的“零树”小波编码图像压缩方法，相比于其它图像编码方法压缩比高、无方块效应。目前，基于小波变换的基础发展起来的图像编码方法称为新的静止图像压缩标准。而基于小波变换分析的压缩方法比较成功的是格型矢量量化小波系数编码，小波包最优基方法，多级树集合分裂算法（SPIHT ），小波域多尺度ARMA 模型纹理方法等。 3.3图像增强与恢复 图像去噪方法分空域滤波、频域滤波和最优线性滤波法。Donoho 和Johnstone 在高斯噪声模型下，应用多维独立正态变量决策理论，提出了小波阈值去噪方法和改进的信号去噪的软阈值方法和硬阈值方法，推导出VisuShrink 阈值公式及SureShrink 阈值公式，从理论上证明该阈值是渐进最优的。Weaver 等人通过分析小波变换高频、低频系数的相关特性，提出基于小波变换域内高、低系数相关的去噪方法。图像复原即利用模糊理论、粗糙集理论等去模糊，研究表明，模糊图像是由降质函数与清晰图像卷积得到，通过分析使图像模糊的因素，如高斯噪声、脉冲噪声、白噪声等，建立图像退化模型，根据采集图像提供的资料恢复清晰的图像。 3.4图像分割 —————————————————————— —作者简介：黄奎（1990-），男，重庆人，硕士，研究方向为水工结构工程。 基于小波变换的图像处理综述 Overview of Image Processing Based on Wavelet Transform 黄奎HUANG Kui （重庆交通大学， 重庆400074）（Chongqing Jiaotong University ，Chongqing 400074，China ） 摘要：小波分析主要广泛应用在科学研究和工程技术中。虽然在现阶段的小波理论相对成熟，近些年关于小波理论的应用和研 究也在不断的发展和更新。小波变化在图像处理领域中的应用也囊括图像与处理的所有方面。本文通过介绍小波变换的起源，将小波 应用在图像处理中的压缩、还原图像、边缘检测和图像分割，宏观剖析小波的研究现状历史、发展动向及优势。 Abstract:The wavelet analysis is widely used in scientific research and engineering technology.Although the wavelet theory is relatively mature at this stage,the application and researches on the wavelet theory in recent years is also in constant development and renewal.The application of wavelet transform in image processing covers all aspects of image processing.Through the introduction of the origin of wavelet transform,and by applying wavelet in image compression,image restoration,edge detection and image segmentation,this article analyzes the research situation,development trend and advantage of wavelet. 关键词：小波分析；图像；应用；边缘检测；宏观剖析Key words:wavelet analysis ；image ；application ；edge detection ；macro analysis 中图分类号：TP391文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）08-0255-02·255· DOI:10.14018/https://www.sodocs.net/doc/085117192.html,13-1085/n.2015.08.143

小波变换图像去噪MATLAB实现

基于小波图像去噪的MATLAB 实现 一、 论文背景 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于 20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所“污染”的现象。如果图像被污染得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一张图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本论文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、 课题原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成： ())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的内积：