2015年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)

2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2015?赤峰模拟）已知命题P：?x＞0，x3＞0，那么?P是（）

A．?x≤0，x3≤0 B．?x＞0，x3≤0 C．?x＞0，x3≤0 D．?x＜0，x3≤0

2．（5分）（2015?郑州一模）已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a

的取值范围是（）

A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]

3．（5分）（2015?郑州一模）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的

值为（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

4．（5分）（2015?郑州一模）已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）

A．100 B．200 C．360 D．400

5．（5分）（2015?郑州一模）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3=10，且

，则a2=（）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．（5分）（2015?郑州一模）已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）

A．1 B．C．2 D．

7．（5分）（2015?郑州一模）如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（）

A．0 B．1 C．3 D．4

8．（5分）（2015?赤峰模拟）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2

的最大值为（）

A．17 B．18 C．20 D．21

9．（5分）（2015?郑州一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）

A．（﹣1，0）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）

10．（5分）（2015?郑州一模）已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则

的值为（）

A．﹣1 B． C．D．2

11．（5分）（2015?河南二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）

A．0 B．2014 C．4028 D．4031

12．（5分）（2015?郑州一模）在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）

A．[3，6]B．[4，6]C．D．[2，4]

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.

13．（5分）（2015?郑州一模）已知数列{a n}是等比数列，若，则

a10=．

14．（5分）（2015?郑州一模）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．

15．（5分）（2015?郑州一模）已知，那么cos2α=．

16．（5分）（2015?海口模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：

①该方程没有小于0的实数解；

②该方程有无数个实数解；

③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；

④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．

则正确命题是．

三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）（2015?郑州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足

，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．

（Ⅰ）求角A和角B的大小；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

18．（12分）（2015?郑州一模）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．

（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；

（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？

19．（12分）（2015?郑州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，

∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；

（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．

20．（12分）（2015?郑州一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，

设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．

21．（12分）（2015?郑州一模）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．

（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；

（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】

22．（10分）（2015?郑州一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE 上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．

（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；

（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．（2015?郑州一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为

（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．

（Ⅰ）求圆心的极坐标；

（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

【选修4-5：不等式选讲】

24．（2015?郑州一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．

（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；

（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．

2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2015?赤峰模拟）已知命题P：?x＞0，x3＞0，那么?P是（）

A．?x≤0，x3≤0 B．?x＞0，x3≤0 C．?x＞0，x3≤0 D．?x＜0，x3≤0

【考点】命题的否定．

【专题】简易逻辑．

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：?x＞0，x3＞0，那么?P是?x＞0，x3≤0．

故选：C．

【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

2．（5分）（2015?郑州一模）已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a 的取值范围是（）

A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【专题】集合．

【分析】解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值范围．

【解答】解：M={x|x＜2}；

∵M?N；

∴a≥2；

∴a的取值范围是[2，+∞）．

故选A．

【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．

3．（5分）（2015?郑州一模）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的

值为（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

【考点】复数的基本概念．

【专题】数系的扩充和复数．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得m 的值．

【解答】解：∵为纯虚数，

∴m+3=0，即m=﹣3．

故选：A．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

4．（5分）（2015?郑州一模）已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）

A．100 B．200 C．360 D．400

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．

【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，

|PF|=b+5=25，

∴b=20，

又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，

∴a2=20×20，

∴a=±20，

∴|ab|=400，

故选D．

【点评】本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．5．（5分）（2015?郑州一模）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3=10，且

，则a2=（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】等差数列的性质．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．

【分析】由数列{a n}是等差数列，，可得a1a3=5，利用a1a2a3=10，即可求出a2的

值．

【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，

∴S1=a1，S5=5a3，

又∵，

∴a1a3=5

又∵a1a2a3=10

∴a2=2

故选A．

【点评】本题考查的知识点是等差数列的前n项和，及等差数列的性质，在等差数列中：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；在等比数列中：若m+n=p+q，则a m?a n=a p?a q；这是等差数列和等比数列最重要的性质之一，大家一定要熟练掌握．

6．（5分）（2015?郑州一模）已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）

A．1 B．C．2 D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．

【解答】解：长方体的底面是边长为1的正方形，高为，

其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，

说明侧视图是底面对角线为边，长方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：

那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以侧视图的面积为：2．

故选：C

【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．

7．（5分）（2015?郑州一模）如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（）

A．0 B．1 C．3 D．4

【考点】程序框图．

【专题】函数的性质及应用；算法和程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）

=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．

【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：

计算并输出分段函数：h（x）=的值，

在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：

由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，

又∵h（x）≥m恒成立，

∴m的最大值是3，

故选：C

【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，难度中档．8．（5分）（2015?赤峰模拟）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2

的最大值为（）

A．17 B．18 C．20 D．21

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．

【解答】解：设z=x2+y2，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由图象可知，

则OC的距离最大，

由，解得，即C（3，3），

则z=x2+y2=9+9=18，

故选：B

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合数形结合是解决本题的关键．

9．（5分）（2015?郑州一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）

A．（﹣1，0）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）

【考点】函数的单调性与导数的关系．

【专题】导数的综合应用．

【分析】根据函数的单调性和导数之间的关系，即可得到结论．

【解答】解：由函数的图象可知，当x＞0时，函数f′（x）＞0，函数单调递增，

当x＜0时，函数f′（x）＜0，函数单调递减，且当x=0时，函数取得极小值f（0），

∵f（﹣1）=f（3）=1，

∴当0≤x＜3时，f（x）＜1，当﹣1＜x＜0时，f（x）＜1，

综上不等式f（x）＜1的解为当﹣1＜x＜3时，

即不等式的解集为（﹣1，3），

故选：B

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．

10．（5分）（2015?郑州一模）已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则

的值为（）

A．﹣1 B． C．D．2

【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；平面向量数量积的运算．

【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．

【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．

【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，

则BC==1，则C点是一个对称中心，

则根据向量的平行四边形法则可知：=2，=

∴=2?=2||2=2×12=2．

故选：D．

【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．

11．（5分）（2015?河南二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）

A．0 B．2014 C．4028 D．4031

【考点】函数的值．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论

【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx

又∵f''（0）=0

而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，

函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），

即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，

∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）

=2×2015+f（0）

=4030+1

=4031．

故选：D．

【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，是解题的关键．

12．（5分）（2015?郑州一模）在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）

A．[3，6]B．[4，6]C．D．[2，4]

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】计算题；平面向量及应用．

【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2

（b﹣1）2+4，0≤b≤2，求出范围即可．

【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，

则A（3，0），B（0，3），

∴AB所在直线的方程为：=1，则y=3﹣x，

设N（a，3﹣a），M（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，

∵MN=，

∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，

∴a﹣b=1，∴a=b+1，

∴0≤b≤2，

∴?=（a，3﹣a）?（b，3﹣b）

=2ab﹣3（a+b）+9，

=2（b2﹣2b+3）=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，

∴当b=0或b=2时有最大值6；

当b=1时有最小值4．

∴?的取值范围为[4，6]

故选B．

【点评】熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.

13．（5分）（2015?郑州一模）已知数列{a n}是等比数列，若，则a10=96．

【考点】等比数列的通项公式．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】由已知求得等比数列的公比的3次方，然后代入等比数列的通项公式求得a10．【解答】解：在等比数列{a n}中，由，

得，

∴．

故答案为：96．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．

14．（5分）（2015?郑州一模）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50．

【考点】频率分布直方图．

【专题】概率与统计．

【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．

【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，

在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，

每组数据的组距为20

则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，

又∵低于60分的人数是15人，

则该班的学生人数是=50．

故答案为：50

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．

15．（5分）（2015?郑州一模）已知，那么cos2α=．

【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．

【专题】三角函数的求值．

【分析】化简已知后可得cosα的值，由二倍角的余弦公式化简后代入即可求值．

【解答】解：∵?sin cosα+cos sinα=?cosα=，

∴cos2α=2cos2α﹣1=2﹣1=．

故答案为：．

【点评】本题主要考察了二倍角的余弦、两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．

16．（5分）（2015?海口模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：

①该方程没有小于0的实数解；

②该方程有无数个实数解；

③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；

④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．

则正确命题是②③④．

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．

【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；

根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，

分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．

【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，

则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，

此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；

对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，

当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1

且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，

因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点

因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；

对于③，当x＜0时，

由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点

当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，

因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；

对于④，由上面的分析知，

当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解

∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点

因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．

故答案为：②③④

【点评】本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．

三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）（2015?郑州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足

，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．

（Ⅰ）求角A和角B的大小；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，

∴由余弦定理得：cosA==，

∵A为三角形内角，

∴A=，

由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，

则B=；

（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，

由余弦定理得AM2=x2+﹣2x??（﹣）=14，

解得：x=2，

则S△ABC=AC?BC?sinC=×2×2×=2．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．（12分）（2015?郑州一模）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．

（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；

（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【专题】概率与统计．

【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，列举出所有的基本事件，列举出满足条件的事件，根据古典概型的公式，得到结果．

（2）根据古典概型公式算出两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，把所得结果进行比较，得到结论．

【解答】解：用（x，y）（x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25个；（1）．则事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10个；

则．）

（2）．设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C．事件B所包含的基本事件有：事件B

所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10个；

则P（B）==

所以P（C）=1﹣P（B）=1﹣=．

因为P（B）≠P（C），所以这样规定不公平．

【点评】本题考查概率的意义和用列举法来列举出所有的事件数，本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件数．

19．（12分）（2015?郑州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，

∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；

（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．

【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA，利用线面平行的判定定理可证；

（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ 的距离．

【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．…（2分）

当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，

故MN∥PA，又MN?平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）

（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ 的距离，所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ，

取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分）

又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．

又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，…（10分）

所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ=.，…（11分）

则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）

【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．

20．（12分）（2015?郑州一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，

设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；

（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得

．利用根与系数的关系可得

，再利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，

整理可得：．

∴曲线E的方程是．

（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．

当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，

联立消去y得．

，

，

所以，，

==．

当且仅当，即时等号成立，此时．

经检验可知，直线和直线符合题意．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21．（12分）（2015?郑州一模）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．

（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；

（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，

问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【专题】导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）将a=1代入函数表达式，求出导函数得到单调区间从而求出函数的极值；（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h（x）=（2x0+

﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x﹣x0）（x﹣）；分别讨论当0＜x0＜2，x0=2，x0＞2时的情况，从而得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=2x﹣3+=，

当f′（x）＞0时，0＜x＜，或x＞1，

当f′（x）＜0时，＜x＜1，

∴f（x）在（0，）和（1，+∞）递增，在（，1）递减；

∴x=时，f（x）极大值=﹣+ln，

x=1时，f（x）极小值=﹣2；

（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，

得h（x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，

设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，

F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）

=（x﹣x0）（x﹣）；

当0＜x0＜2时，F（x）在（x0，）上递减，

∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时＜0，

x0＞2时，F（x）在（，x0）上递减；

∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时＜0，

∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，

x0=2时，F′（x）=（x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数；

x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，

即点P（x0，f（x0））为“转点”，

故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．

【点评】本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的最值问题，如何解决新定义的问题，是一道综合题．

四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】

22．（10分）（2015?郑州一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE 上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．

（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；

（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．

【考点】与圆有关的比例线段；直线和圆的方程的应用．

【专题】直线与圆．

【分析】（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；