北京市2016年中考二模专项练习——压轴题
(东城)
29. 定义:y 是一个关于x 的函数,若对于每个实数x ,函数y 的值为三数2+x ,12+x ,
205+-x 中的最小值,则函数y 叫做这三数的最小值函数.
(1)画出这个最小值函数的图象,并判断点A (1, 3)是否为这个最小值函数图象上
的点;
(2)设这个最小值函数图象的最高点为B ,点A (1, 3),动点M (m ,m ).
①直接写出△ABM 的面积,其面积是 ;
②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点,写出点M 的坐标;
③以②中的点M 为圆心,以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ,使22
P A P B +的值最小,直接写出此最小值.
29.在平面直角坐标系 xOy 中,对于点P (x , y ),以及两个无公共点的图形W 1和W 2,若在图形W 1
和W 2上分别存在点M (x 1, y 1 )和N (x 2, y 2 ),使得P 是线段MN 的中点,则称点M 和N 被点P “关联”,
并称点P 为图形W 1和W 2的一个“中位点”,此时P ,M ,N 三个点的坐标满足x =
12
2
x x +,y =12
2
y y + (1)已知点A (0,1),B (4,1),C (3,-1),D (3,-2),连接AB ,CD .
①对于线段AB 和线段CD ,若点A 和C 被点P “关联”,则点P 的坐标为 ; ②线段AB 和线段CD 的一“中位点”是Q (2,-
12
),求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标;
(2)如图 1,已知点R (-2,0)和抛物线W 1 : y = x 2
- 2x ,对于抛物线W 1上的每一个点M ,在抛物线W 2上都存在点N ,使得点N 和M 被点R “关联”,请在图1 中画出符合条件的抛物线W 2;
(3)正方形EFGH 的顶点分别是E (-4,1),F (-4,-1),G (-2,-1),H (-2,1), ⊙ T 的圆心为T (3,0),半径为1.请在图2 中画出由正方形EFGH 和 ⊙ T 的所有“中位点”组成的图形(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示),并直接写出该图形的面积.
29.P 是⊙O 内一点,过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ,我们把PA PB ?的值称为点P 关于
⊙O 的“幂值”.
(1)⊙O 的半径为5,OP = 3.
①如图1,若点P 恰为弦AB 的中点,则点P 关于⊙O 的“幂值”为________; ②判断当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值,若是定值,证明你的结论;若不是定值,求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围.
(2)若⊙O 的半径为r ,OP = d ,请参考(1)的思路,用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O
的“幂值”或“幂值”的取值范围________;
(3)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为4,若在直线3
3
y x b =+上存在点P ,使得
点P 关于⊙O 的“幂值”为13,请写出b 的取值范围________.
图1
P
O
B
A O
备用图
29.在平面直角坐标系xOy 中,对图形W 给出如下定义:若图形W 上的所有点
都在以原点为顶点的角的内部或边界上,在所有满足条件的角中,其度数的最小值称为图形的坐标角度,例如,下图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.
(1)已知点)3,0(-A ,)1,1(--B ,在点)0,2(C ,)0,1(-D ,)2,2(-E 中,选一点,使
得以该点及点A ,B 为顶点的三角形的坐标角度为90°,则满足条件的点为 ;
(2)将函数2ax y =)31(≤≤a 的图象在直线1=y 下方的部分沿直线1=y 向上翻折,
求所得图形坐标角度m 的取值范围;
(3)记某个圆的半径为r ,圆心到原点的距离为l ,且)1(3-=r l ,若该圆的
坐标角度?≤≤?9060m .直接写出满足条件的r 的取值范围.
O
x
y
D
C
B A
–1–2–3
1
2
3
12345
(顺义)
29. 在平面直角坐标系xOy 中,对于点P 和⊙C 给出如下定义:若⊙O 上存在两个点A ,B ,使得60APB ∠=?,则称P 为⊙C 的关联点.
已知点11
(,)22
M ,(2,0)N -,(0,4)E -,(23,0)F (1)当⊙O 的半径为1时,
①在点M ,N ,E ,F 中,⊙O 的关联点是 ;
②过点F 作直线l 交y 轴正半轴于点G ,使30GFO ∠=?,若直线l 上的点(,)P m n 是⊙O 的关联点,求m 的取值范围;
(2)若线段EF 上的所有点都是半径为r 的⊙O 的关联点,求半径r 的取值范围.
来源:Z*xx*https://www.sodocs.net/doc/003175964.html,]
(通州)
29. 在平面直角坐标系xoy 中,⊙C 的半径为r ,点P 是与圆心 C 不重合的点,给出如下定义:如果点P '为射线CP 上一点, 满足2
r P C CP ='?,那么称点P '为点P 关于⊙C 的反演点, 右图为点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图。
(1)如图1,当⊙O 的半径为1时,分别求出点M (1,0),N (0,2),??
?
??2121,T 关于⊙O 的反演点M ′,N ′,T ′的坐标;
(2)如图2:已知点A (1,4),B (3,0),以AB 为直径的⊙G 的与y 轴交于点C ,D (点C 位
于点D 下方),E 为CD 的中点,如果点O ,E 关于⊙G 的反演点分别为O ′,E ′,求∠E ′O ′G 的大小。
参考答案
(东城)
29.解:
(1)图象略;是. …………2分(2)①2. …………4分
②M(3,3).…………6分
③5. …………8分
(西城)
(海淀)
29.解:(1)函数1y x =-没有不变值; ………………1分
函数1
y x
=
有1-和1两个不变值,其不变长度为2;………………2分 函数2y x =有0和1两个不变值,其不变长度为1;………………3分 (2)①∵函数22y x bx =-的不变长度为零, ∴方程2
2x bx x -=有两个相等的实数根. ∴1b =-. ………………4分
②解方程2
2x bx x -=,得10x =,21
2
b x +=
.………………5分 ∵13b ≤≤, ∴212x ≤≤.
∴函数22y x bx =-的不变长度q 的取值范围为12q ≤≤. ………………6分 (3)m 的取值范围为13m ≤≤或1
8
m <-. ………………8分
(朝阳)29.(1)①16. (1)
分
②当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”为定值.………………2分 证明:如图,AB 为⊙O 中过点P 的任意一条弦,且不与OP 垂直. 过点P 作⊙O 的弦''A B ⊥OP ,连接'AA 、'BB . ∵在⊙O 中,''AA P B BP ∠=∠,''APA BPB ∠=∠,
∴△'APA ∽△'B PB .…………………………………………………3分
∴
'
'PA PA PB PB
=. ∴''PA PB PA PB ?=?.…………………………4分
∵OP ⊥''A B ,3OP =,⊙O 半径为5. ∴''4A P B P ==.
∴16PA PB ?=.…………………………………………………………5分 ∴当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”为定值.
(2)22r d -. …………………………………………………………………………6分 (3)22b -≤≤. …………………………………………………………………8分
(石景山)
29. (1)满足条件的点为)0,1(-D ,)2,2(-E ……………………………… 3分
(2)当1=a 时,角的两边分别过点)
(1,1-,)(1,1,此时坐标角度?=90m ; 当3a =时,角的两边分别过点)
(1,3
3
-
,)(1,33,此时坐标角度?=60m ,所以?≤≤?9060m ;……………………………………………………… 6分
(3)32
33
≤≤-r .…………………………………………………….8分
(顺义) 29.解:
(1)① 在点M ,N ,E ,F 中,⊙O 的关联点是M ,N ; ….………..2分
② ∵过点F 作直线l 交y 于点G ,使30GFO ∠=?,点(23,0)F ∴23OF =, 2OG =
∴ 点G 的坐标是(0 ,2) ----------------------------------------------------3分 设直线l 的表达式为y kx b =+,又直线l 过点点(23,0)F 和点(0,2)G
∴ 直线l 的表达式为3
23
y x =-
+ ----------------------------------------4分 ∵ 直线l 上的点(,)P m n 是⊙O 的关联点
∴直线l 上的点(,)P m n 满足2OP ≤的所有点都是⊙O 的关联点
O
x y –1
–2121
2O
–1
–2121
2y x
∴当2OP =时, 22
4m n +=,即 2
23
(2)43
m m +-
+= --------5分 ∴ 10m = ,23m =
∴m 的取值范围是03m ≤≤ ------------------------------------------------6分 (2) 2r ≥ --------------------------------------------------------------------------------8分
(通州)